3.1 Lösning 7d

Från c) vet vi att derivatan \( \, f\,'(x) \,=\, x^3 - 16\,x \, \) har tre nollställen. Vi ordnar (sorterar) dem efter storlek på \(\,x\)-axeln genom att numrera om dem: \( \, x_1 = -4 \, \), \( \, x_2 = 0 \, \) och \( \, x_3 = 4 \, \).

Teckenstudie kring

• nollstället \( \, x_1 = -4 \, \):

\[ f\,'\,(-4,1) \,=\, (-4,1)^3 - 16\cdot (-4,1) \,=\, -3,321 \,<\, 0 \]

\[ f\,'\,(-3,9) \,=\, (-3,9)^3 - 16\cdot (-3,9) \,=\, 3,081 \,>\, 0 \]

• nollstället \( \, x_2 = 0 \, \):

\[ f\,'\,(-0,1) \,=\, (-0,1)^3 - 16\cdot (-0,1) \,=\, 1,599 \,>\, 0 \]

\[ f\,'\,(0,1) \,=\, 0,1^3 - 16\cdot 0,1 \,=\, -1,599 \,<\, 0 \]

• nollstället \( \, x_3 = 4 \, \):

\[ f\,'\,(3,9) \,=\, 3,9^3 - 16\cdot 3,9 \,=\, -3,081 \,<\, 0 \]

\[ f\,'\,(4,1) \,=\, 4,1^3 - 16\cdot 4,1 \,=\, 3,321 \,>\, 0 \]

Vi inför resultaten i en teckentabell:

\(x\)		\(-4\)		\(0\)		\(4\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\( f(x) \)	↘		↗		↘		↗

Eftersom derivatan är en 3:e gradsfunktion och därmed inte har fler än tre nollställen kan vi enligt reglerna om växande och avtagande dra slutsatserna:

      För alla \( {\color{White} {xxxxxxx}} x < -4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.

      I intervallet \( \, -4 < x < 0 {\color{White} {xx}} \) är \(\, f(x) \) växande.

      I intervallet \( {\color{White} x} \; 0 < x < 4 \,{\color{White} {xx}} \) är \(\, f(x) \) avtagande.

      För alla  \( {\color{White} {xxxxxx}} \; x > 4 \,{\color{White} {xx}} \) är \(\, f(x) \) växande.