1.2 Faktorisering av polynom

Repetition: Faktorisering & Vieta

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \)

\( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt

Lektion 4 Faktorisering av polynom

Lektion 5 Faktorisering av polynom: Fördjupning

Polynom i faktorform

Exempel

Visa att följande produkt är ett polynom:

\[ (x-3) \, \cdot \, (x-4) \]

Vi utvecklar produkten:

\[ (x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; x^2 \, - \, 4\,x - \, 3\,x \, + \, 3 \cdot 4 \; = \; \underline{x^2 \, - \, 7\,x \, + \, 12} \; \]

\( \Downarrow \)

\( \; (x-3) \cdot (x-4) \; \) kallas polynomet \( \; x^2 - 7\,x + 12 \; \) i faktorform.

\( \qquad\;\, 3 \;\;\; \) och \( \;\;\, 4 \;\; \) är polynomets nollställen, se nollproduktmetoden:

Nollproduktmetoden

Lös ekvationen: \( \qquad\qquad\qquad\;\:(x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; 0 \)

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanlig\;fel\;åtgärd:}}} \quad\; (x-3) \cdot (x-4) \; = \; x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 \; = \; \cdots \]

\[ \qquad\quad\; {\rm Rätt\;åtgärd: \qquad\quad\; Räkna\;inte!\quad Tänk\;istället\;sä\;här:} \]

För att \( \, (x-3) \cdot (x-4) \, \) ska vara \( 0 \), måste antingen \( \, (x-3) \, \) eller \( \, (x-4) \, \) vara \( \, 0 \).

För att \( \, (x-3) \, \) eller \( \, (x-4) \, \) ska vara \( \, 0 \,\) måste \( \, x \, \) antingen vara \( \, 3 \, \) eller \( \, 4 \).

Alltså har ekvationen de två lösningarna:

\(\qquad\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align} \)

Metoden heter nollproduktmetoden därför att den löser en ekvation vars ena led är en produkt som ska bli noll.

Nollproduktmetoden ger oss ekvationens lösningar utan att vi behöver räkna.

Den felaktiga åtgärden ovan är formellt matematiskt inte fel, men förstör faktorformen.

Faktorformen är den struktur som gör nollproduktmetoden och därmed den effektiva lösningen möjlig.

Hur får man faktorformen om man har polynomet endast som en summa av termer?

Det omvända problemet:

Faktorisera (skriv i faktorform) polynomet \( \, x^2 - 7\,x + 12 \).

Lösningen:

Vi beräknar polynomets nollställen:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

För att snabbt lösa denna 2:a gradsekvation som ett led i faktoriseringsprocessen använder vi Vietas formler.

Enligt Vieta gäller för ekvationens lösningar \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \):

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 12 \end{align}\]

Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är \( \, 12 \, \) och vars summa är \( \, 7 \, \).

Med lite provande kommer man fram till:

\[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align}\]

eftersom \( \, 3 + 4 = 7 \, \) och \( \, 3 \cdot 4 = 12 \). Därmed är polynomets faktorisering:

\[ x^2 - 7\,x + 12 \; = \; \underline{(x - 3) \, \cdot \, (x - 4)} \]

Självklart hade man kunnat använda även p-q-formeln för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här:

\[\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 4 \end{array}\]

Man ser att Vieta inte bara är en enklare och snabbare metod än p-q-formeln utan även minimerar risken för felräkning.

Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering (processen). Exemplets polynom är av grad \( \, 2\), medan dess ingredienser dvs faktorerna \( \, (x-3) \, \) och \( \, (x-4) \, \) är polynom av grad \( \, 1\). Detta kan jämföras med faktoriseringen \( \, 12 \, = \, 3 \cdot 4 \), där faktorerna \( \, 3 \, \) och \( \, 4 \, \) är mindre än \( \, 12 \, \). Man har splittrat upp talet \( \, 12 \,\) i sina beståndsdelar \( \, 3 \, \) och \( \, 4 \), precis som man splittrar upp polynomet \( \, x^2 - 7\,x + 12 \, \) i sina beståndsdelar \( \, (x-3)\, \) och \( \, (x-4) \).

Faktorisering är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen.

Faktorisering av 2:a gradspolynom

Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:

Sats:

Faktorisering med 2 nollställen

Om 2:a gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in p-q-formeln för \( x_1\, \) och \( x_2\, \), utveckla produkten på högerledet och genomföra jämförelse av koefficienter, se övn. 13.

Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se Algebrans fundamentalsats.

Rotens olika betydelser

Ordet rot har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang:

Räkneoperationen rotdragning med rottecknet \( {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} \) som symbol, t.ex. roten ur \( 4\, \) är \( 2\, \) osv.

Lösningen av en ekvation. I ekvationssammanhang är rot synonym till en ekvations lösning. T.ex. är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs lösningar till ekvationen \( x^2 = 4\, \).

Nollstället till ett polynom. I polynomsammanhang är rot synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs nollställen till polynomet \( x^2 - 4\, \).

Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten.

Dubbelrot

När vi nu i fortsättningen pratar om en dubbelrot menar vi två lösningar till en ekvation som sammanfaller, vilket även kan uppfattas som endast en lösning.

Sats:

Faktorisering med 1 nollställe

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) endast har ett nollställe \( x_1\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 \]

Ett sådant nollställe kallas för dubbelrot till ekvationen \( x^2 + p\,x + q = 0 \).

Exempel

Polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) har dubbelroten \( x = 3\, \) eftersom \( x^2 - 6\,x + 9 \, = \, (x-3)\,^2 \), se exemplet från repetitionen om Vieta.

Dubbelrötter har vissa intressanta egenskaper. En av dem kan vi se när vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt dubbelroten "skär" \( \, x\)-axeln.

Grafen till polynomfunktionen \( \; y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad \) Fil:Dubbelrot 70.jpg

Grafen visar att kurvan inte skär utan bara berör \(\,x\)-axeln vid \( x = 3\, \). Dvs det finns endast en gemensam punkt mellan kurvan och \(\,x\)-axeln. Det är en av de typiska egenskaperna hos dubbelrötter. De ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära \(\,x\)-axeln (ingen lösning alls). Matematiskt uttrycker sig denna egenskap i faktoriseringens form:

\[ x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)\,^2 \]

Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har en lösning \( x = 3\, \) till 2:a gradsekvationen \( x^2 - 6 x + 9 = 0\, \). Fast, om vi tittar på faktorformen \( (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 \) kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.

Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering.