1.3 Rationella uttryck

Repetition: Bråkräkning

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \)

\( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt

Lektion 6 Rationella uttryck

Exempel på rationella uttryck

\[ {1 \over x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \quad \]

Ett rationellt uttryck är kvoten (resultatet av division) mellan två polynom.

I rationella uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \), t.ex. får i:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

nämnaren \( x^2 - 1\, \) inte bli \( \, 0 \), för division med \( \, 0 \) är inte definierad. Läs i Fördjupning varför.

Detta innebär att \( \, x\, \) varken får vara \( \, 1\, \) eller \( \, -1\, \), för då blir polynomet \( \, x^2 - 1\, \):s värde \( \, 0 \). Och eftersom \( \, x^2 - 1\, \) står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \, \) inte definierat. Man säger:

Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, \) är definierat för alla \( x\, \) utom för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \).

Eller: Uttryckets definitionsmängd är: \( \quad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \)

Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.

Analogi mellan heltal och polynom

Ett heltal är ett tal ur mängden \( \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} \) dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.

Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex.:

\[ 3 \over 4 \]

Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( 0\, \), t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{0} \, \) är inte definierad.

Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal (bråk) och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, speciellt när vi börjar räkna med rationella uttryck:

Addition & subtraktion av rationella uttryck

Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.

Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför:

Repetera bråkräkning från Matte 1.

Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; \) så långt som möjligt.

\[ {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \]

Exempel 2

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; \) så långt som möjligt.

\[ {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]

Hjälpsats

\( a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Bevis: \( {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Annan formulering: \( {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) \)

Exempel 3

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]

Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln

---

\[\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\]

---

I exemplen som följer används dessa regler flitigt.

Exempel 4

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

Redan i första steget används konjugatregeln (baklänges) för att faktorisera den första termens nämnare:

\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \]

\[ = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]

Multiplikation & division av rationella uttryck

Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \)

\[ {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]

Exempel 2

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \)

\[ {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]

Exempel 3

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 \]

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} \]

Varför är det fel att göra så här?

Det är fel att förkorta uttrycket \( {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} \) med \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} \) därför att \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} \) är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.

Förklaring:

Låt oss anta \( x = 1\, \). Felaktig förkortning ger \( {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \) medan rätt svar är \( {6+18 \over 6} = {24 \over 6} \) \( = 4 \neq 18 \).

Därav följer nödvändigheten att bryta ut \( {\color{Red} 6} \) i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:

\[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]

Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.

Exempel 4

I första steget (likhetstecknet) ovan har den 2:a kvadreringsregeln (baklänges) använts:

\[ x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \]

Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).

Exempel 5

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} \) så långt som möjligt:

\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]

\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]

\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]

Internetlänkar

http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx

http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel

http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related

Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.