1.3 Fördjupning till Rationella uttryck
| Repetition: Bråkräkning | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \) |
Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning
Varför är division med 0 inte definierad?
Om du matar in i din miniräknare:
- \[ 1 \, / \, 0 \]
kommer du att få ERROR på displayen. Räknaren kan inte genomföra denna operation.
Division med 0 är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken.
Både i bråktal och i uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \) eftersom division med \( \, 0\, \) inte är definierad.
Men vad beror det på att man inte kan dividera med \( \, 0\, \)?
När vi besvarar denna fråga kommer vi att inse att det inte är ett formellt förbud utan en praktisk omöjlighet.
Praktisk förklaring
Istället för att mata in i din miniräknare \( \, 1 \, / \, 0-\) för då får du ERROR \(-\) dela \( 1\, \) inte direkt med \( 0\, \) utan med små tal.
Mata in i din miniräknare t.ex.:
- \[ 1 \, / \, 0,1 \qquad 1 \, / \, 0,01 \qquad 1 \, / \, 0,001 \qquad \ldots \]
Fortsätt med att låta de små tal som du delar med, bli mindre och mindre, se tabellen.
Eller rita grafen \( \, y \, = \, 1/x \, \) och titta på \( \, x \rightarrow 0 \,\).
|
\( \qquad\qquad\qquad \) |  |
Både tabellen och grafen: Ju mindre \( \, x \, \) blir desto större blir \( \, 1/x \, \). I gränsfallet \( \, x=0 \, \) blir \( \, 1/x \, \) oändligt stort.
Man säger: \( \displaystyle {1 \over x} \) går mot oändligheten när \( \, x\, \) går mot \( \, 0\, \) och skriver: \( \, \displaystyle {1 \over x} \to \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).
\( \infty \) är symbolen för oändligheten. Det är omöjligt att ange \( \infty \) som ett tal som man kan räkna med.
Vilket tal man än anger så kan man alltid göra \( \, + \, 1 \, \) och få ett större tal. Det tar aldrig slut.
Slutsatser: \( \displaystyle \quad {1 \over 0} \) är inget tal och därmed inte definierat.
Slutsatser: \( \quad \)Det är matematiskt inte korrekt att skriva \( \displaystyle \, {1 \over 0} = \infty \, \). Korrekt: \( \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).
Teoretisk förklaring
Vad betyder division? Vad betyder t.ex. \( \, 12 / 4 \, \)?
- \[ 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 \]
Uppenbarligen är detta tal \( \quad {\color{Red} {x = 3}} \quad \) därför att \( \, {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 \).
Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \):
Vad betyder då \( \, 12 / 0 \, \)?
- \[ 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 \quad {\rm {\color{Red} {Motsägelse!}}} \]
Det finns inget sådant tal \( {\color{Red} x} \) därför att \( \quad {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 \quad \neq 12 \, \).
Alternativt:
Ett annat sätt att förklara omöjligheten av division med \( \, 0 \, \) är att tolka divisionen som en upprepad subtraktion.
Operationen \( \, 12 / 4 \, \) kan nämligen tolkas som:
- \[ 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm Därför:} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]
Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \).
Operationen \( \, 12 / 0 \, \) kan tolkas som:
- \[ 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 \]
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre: En oändlig process ger inget resultat.
Slutsats: Division med \( 0 \,\) är inte definierad.
Läs: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?
Rationella funktioner
Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att bilda funktioner med dem och visualiserar dem med grafer.
En rationell funktion är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. \( \, y\).
Exempel 1
Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, \) som är en kvot mellan polynomet \( 1\, \) (av graden 0) och polynomet \( x\, \) (av graden 1), tilldelas variabeln \( \, y \, \), vilket ger den rationella funktionen:
- Funktionen är diskontinuerlig i \( \; {\color{Red} {x = 0}} \).
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer: en polynomfunktion är alltid kontinuerlig. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
I grafen ovan måste vid \( x = 0\, \) pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i \( x = 0\, \). Man säger att funktionen är icke-kontinuerlig eller diskontinuerlig i \( x = 0\, \).
Anledningen till denna diskontinuitet är att \( \; y = \) \( \displaystyle {1 \over x} \; \) inte är definierad för \( x = 0\, \). När \( x \, \) närmar sig \( 0\, \) går \( y\, \) mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt. Man måste undanta \( x = 0\, \) från funktionens definitionsmängd:
Den rationella funktionen \( y = \) \( \displaystyle {1 \over x}\):s definitionsmängd är: \( \quad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0 \).
Definition:
En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
Diskontinuiteten för vissa \( \, x \, \) är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla \( x\, \).
Diskontinuiteten för vissa \( \, x\, \) innebär att det är bara några isolerade \( \, x\)-värden som en rationell funktion kan vara diskontinuerlig för. Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella \( \, x\, \). Här följer ett exempel:
Exempel 2
En "snäll" rationell funktion utan reell diskontinuitet samt graf:
Funktionsuttryckets nämnare har inga reella nollställen, dvs ekvationen \( x^2 + 1 = 0\, \) saknar reell lösning. Den ger nämligen \( \, x^2 = -1 \). Och \( \, \sqrt{-1} \, \) är inget reellt tal. Ekvationen har endast de komplexa lösningarna \( \, x_1 = i \, \) och \( \, x_2 = -i \).
Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_1 \, \) är definierad och kontinuerlig för alla reella \( \, x \), vilket även ses på grafen.
Exempel 3
En liten ändring i \( \, y_1\):s nämnare från \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, \) till \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, \) resulterar i en annan funktion med ett helt annorlunda beteende:
Grafen är uppdelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig): \( \, x\, = \, -1 \, \) och \( \, x\, = \, 1 \). När \( \, x\, \) närmar sig dessa två ställen går \( \, y_2\,\) mot oändligheten.
I \( \, y_2\):s algebraiska uttryck har nämnaren nollställena \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1\, \) och kan därför faktoriseras.
- \( \Downarrow \)
Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_2 \, \) är definierad och kontinuerlig för alla \( \, \bf{\ x \, \neq \, 1}\) och \( \, \bf{x \, \neq \, -1} \, \).
Två typer av diskontinuitet
Exempel 4
Hävbar diskontinuitet kallas den första diskontinuiteten \( \, x = -3 \, \) som vi lyckades få bort genom förkortning av faktorn \( \, x + 3 \).
Icke-hävbar diskontinuitet kallas den andra diskontinuiteten \( \, x = 3 \, \) som är kvar i form av faktorn \( \, x - 3 \, \) i nämnaren.
Efter faktorisering av täljaren och nämnaren samt förkortning med faktorn \( \, (x+3) \, \) förenklas det rationella uttrycket väsentligt. Men denna förkortning är endast korrekt om \( \, x \not= -3 \) eftersom förkortning med \( \, (x+3) \,\) innebär division med \( \, 0\,\) om \( \, x = -3\, \).
OBS! Se upp för division med \( \, 0 \,\) i uttryck, för den är oftast gömd. Man kan råka ut för den utan att märka.
Det sista likhetstecknet mellan de rationella uttrycken i exempel 3 gäller endast under förutsättningen \( \, x \not= -3 \). Det enklare uttrycket är identiskt med det ursprungliga inte för alla \( \, x \, \) utan för alla utom för \( \, x = -3\, \).
Det blir ännu tydligare när vi skriver om de rationella uttrycken som rationella funktioner. Det uppstår nämligen två olika funktioner:
| \(\begin{align} f(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\ \\ g\,(x) & = {2\,x \over x - 3}\end{align} \) | \( \qquad \) |  |
Dessa funktioner är olika därför att deras definitionsmängder är olika. Medan \( \, f(x)\, \) är definierad för alla \( \ x \, \neq \, -3\) och \( \, x \, \neq \, 3 \, \), är \( \, g\,(x)\, \) definierad för alla \( \ x \, \neq \, 3\).
OBS! Funktionernas grafer lurar oss. Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan \( \, f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \, \). I själva verket har \( \, f(x)\, \) ett "hål" eller en "lucka" i \( \, x = -3 \), är inte definierad och har en diskontinuitet där. Den "hoppar" över \( \, x = -3 \, \) så att säga. Men pga att denna diskontinuitet är hävbar, går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av den.
Kontinuerlig fortsättning
Hävbara diskontinuiteter är "snälla" och kan "repareras". En ny funktion kan definieras som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuiteter, men är annars identisk med den. En sådan funktion kallas den kontinuerliga fortsättningen av den ursprungliga.
I det här fallet skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( \, f(x)\, \):s definition med ett värde för \( \, x = -3 \, \) som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig mot sin omgivning. Hur får man fram detta värde? Man gör det genom att beräkna \( \, g\,(-3) \):
- \[ g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]
Detta värde \( \, 1 \, \) läggs till i den nya funktionen för \( \, x = -3 \). Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av \( \, f(x) \). Modifikationen består just av det här tillägget. För alla andra \( \, x \, \) är den nya funktionen identisk med \( \, f(x) \).
Så här kan den nya funktionen definieras:
- \[ \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3 \\ \\ 1 & \mbox{om } x = -3 \end{cases}\]
Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla \( x \neq -3\, \) definieras funktionen \( \, \hat{f}(x) \, \) enligt det rationella uttrycket för \( f(x)\, \), medan för \( x = -3\, \) har den värdet \( 1\, \).
\(\hat{f}(x) \, \) kallas den kontinuerliga fortsättningen av \( \ f(x) \) och är helt och hållet identisk med den förkortade form som vi hade fått tidigare:
- \[ \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} \]
I praktiskt beräkningssammanhang och när man ritar grafen föredrar man förstås denna enkla form. Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen \( f(x)\, \), att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte direkt varifrån den kommer, att den är en kontinuerlig fortsättning av \( f(x)\, \).
Den andra faktorn \( (x-3)\, \) både i \( \,f(x)\):s och \( \, \hat{f}(x)\):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten \( \, x = 3 \). När \( \, x\, \) går mot \( \, 3\, \) går \( \, f(x)\, \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten. Därför är diskontinuiteten i \( x = 3\, \) kvar och synlig i graferna till både \( \, f(x)\, \) och \( \, \hat{f}(x) \, \). Den är, till skillnad från den första, en icke-hävbar diskontinuitet och kan inte "repareras" på något sätt. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \, \hat{f}(x) \). Så \( \, \hat{f}(x) \, \) har en diskontinuitet kvar medan \( f(x)\, \) hade två diskontinuiteter.
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
