1.3 Fördjupning till Rationella uttryck
| Repetition: Bråkräkning | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \) |
Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning
Varför är division med 0 inte definierad?
Om du matar in i din miniräknare:
- \[ 1 \, / \, 0 \]
kommer du att få ERROR på displayen. Räknaren kan inte genomföra denna operation.
Division med 0 är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken.
Både i bråktal och i uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \) eftersom division med \( \, 0\, \) inte är definierad.
Men vad beror det på att man inte kan dividera med \( \, 0\, \)?
När vi besvarar denna fråga kommer vi att inse att det inte är ett formellt förbud utan en praktisk omöjlighet.
Praktisk förklaring
Istället för att mata in i din miniräknare \( \, 1 \, / \, 0-\) för då får du ERROR \(-\) dela \( 1\, \) inte direkt med \( 0\, \) utan med små tal.
Mata in i din miniräknare t.ex.:
- \[ 1 \, / \, 0,1 \qquad 1 \, / \, 0,01 \qquad 1 \, / \, 0,001 \qquad \ldots \]
Fortsätt med att låta de små tal som du delar med, bli mindre och mindre, se tabellen.
Eller rita grafen \( \, y \, = \, 1/x \, \) och titta på \( \, x \rightarrow 0 \,\).
|
\( \qquad\qquad\qquad \) |  |
Både tabellen och grafen: Ju mindre \( \, x \, \) blir desto större blir \( \, 1/x \, \). I gränsfallet \( \, x=0 \, \) blir \( \, 1/x \, \) oändligt stort.
Man säger: \( \displaystyle {1 \over x} \) går mot oändligheten när \( \, x\, \) går mot \( \, 0\, \) och skriver: \( \, \displaystyle {1 \over x} \to \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).
\( \infty \) är symbolen för oändligheten. Det är omöjligt att ange \( \infty \) som ett tal som man kan räkna med.
Vilket tal man än anger så kan man alltid göra \( \, + \, 1 \, \) och få ett större tal. Det tar aldrig slut.
Slutsatser: \( \displaystyle \quad {1 \over 0} \) är inget tal och därmed inte definierat.
Slutsatser: \( \quad \)Det är matematiskt inte korrekt att skriva \( \displaystyle \, {1 \over 0} = \infty \, \). Korrekt: \( \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).
Teoretisk förklaring
Vad betyder division? Vad betyder t.ex. \( \, 12 / 4 \, \)?
- \[ 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 \]
Uppenbarligen är detta tal \( \quad {\color{Red} {x = 3}} \quad \) därför att \( \, {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 \).
Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \):
Vad betyder då \( \, 12 / 0 \, \)?
- \[ 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 \quad {\rm {\color{Red} {Motsägelse!}}} \]
Det finns inget sådant tal \( {\color{Red} x} \) därför att \( \quad {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 \quad \neq 12 \, \).
Alternativt:
Ett annat sätt att förklara omöjligheten av division med \( \, 0 \, \) är att tolka divisionen som en upprepad subtraktion.
Operationen \( \, 12 / 4 \, \) kan nämligen tolkas som:
- \[ 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm Därför:} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]
Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \).
Operationen \( \, 12 / 0 \, \) kan tolkas som:
- \[ 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 \]
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre: En oändlig process ger inget resultat.
Slutsats: Division med \( 0 \,\) är inte definierad.
Läs: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?
Rationella funktioner
Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att bilda funktioner med dem och visualiserar dem med grafer.
En rationell funktion är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. \( \, y\).
Exempel 1
Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, \) tilldelas variabeln \( \, y \, \), vilket ger den rationella funktionen samt grafen:
- Funktionen är diskontinuerlig i \( \; {\color{Red} {x = 0}} \).
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer: en polynomfunktion är alltid kontinuerlig. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
I grafen ovan måste vid \( x = 0\, \) pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i \( x = 0\, \). Man säger att funktionen är icke-kontinuerlig eller diskontinuerlig i \( x = 0\, \).
Anledningen till denna diskontinuitet är att \( \; y = \) \( \displaystyle {1 \over x} \; \) inte är definierad för \( x = 0\, \). När \( \, x \, \) närmar sig \( 0\, \) går \( y\, \) mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt. Man måste undanta \( x = 0\, \) från funktionens definitionsmängd:
Den rationella funktionen \( y = \) \( \displaystyle {1 \over x}\):s definitionsmängd är: \( \quad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0 \).
Definition:
En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
Diskontinuiteten för vissa \( \, x \, \) är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla \( x\, \).
Diskontinuiteten för vissa \( \, x\, \) innebär att det är bara några isolerade \( \, x\)-värden som en rationell funktion kan vara diskontinuerlig för. Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella \( \, x\, \). Här följer ett exempel:
Exempel 2
En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:
Grafen visar inga diskontinuiteter.
Algebraiskt har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen \( x^2 + 1 = 0\, \) saknar reell lösning. Den ger nämligen \( \, x^2 = -1 \). Och \( \, \sqrt{-1} \, \) är inget reellt tal. Ekvationen har endast de komplexa lösningarna \( \, x_1 = i \, \) och \( \, x_2 = -i \).
Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_1 \, \) är definierad och kontinuerlig för alla reella \( \, x \).
Exempel 3
En liten ändring i \( \, y_1\):s nämnare från \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, \) till \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, \) resulterar i en annan funktion med ett helt annorlunda beteende:
Grafen är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig): \( \, x\, = \, -1 \, \) och \( \, x\, = \, 1 \).
När \( \, x\, \) närmar sig dessa två ställen går \( \, y_2\,\) mot oändligheten.
Algebraiskt har nämnaren i \( \, y_2 \, \) nollställena \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \). Därför har \( \, y_2 \, \) diskontinuiteter i dessa punkter.
- \( \Downarrow \)
Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_2 \, \) är definierad och kontinuerlig för alla \( \, \ x \, \neq \, 1 \, \) och \( \, x \, \neq \, -1 \, \).
Två typer av diskontinuitet
Exempel
Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner för att besvara frågan: Är det en funktion i två olika skepnader eller är det två olika funktioner?
\(\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\
\\
g\,(x) & = {2\,x \over x - 3}\end{align} \) |
\( \qquad \) |  |
Svaret: \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \, \) är två olika funktioner eftersom deras definitionsmängder är olika:
\( \qquad\qquad\qquad\qquad\quad f(x)\, \) är definierad för alla \( \ x \, \neq \, -3\) och \( \, x \, \neq \, 3 \, \qquad\qquad\qquad \, g\,(x)\, \) är definierad för alla \( \ x \, \neq \, 3\)
OBS! Likheten \( \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, \) gäller inte för alla \( \, x \, \) utan endast för alla \( \, x \not= -3 \). Anledningen är:
- Förkortningen med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) är endast korrekt om \( \, x \not= -3 \) eftersom den innebär division med \( \, 0\,\) om \( \, x = -3\, \).
- Se upp för division med \( \, 0 \,\) i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?.
Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan \( \, f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \, \). I själva verket har \( \, f(x)\):s graf ett "hål" eller en "lucka" i \( \, x = -3 \). Förstora bilden för att se hålet som beror på att \( \, f(x) \, \) inte är definierad där. Grafen "hoppar" över \( \, x = -3 \, \) så att säga. Men eftersom denna diskontinuitet är hävbar, går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av den.
\( \, x = -3 \, \) kallas för en hävbar diskontinuitet eftersom \( \, (x+3) \, \) kan förkortas bort i \( \, f(x) \, \) och försvinner då från nämnaren.
\( \, x = 3 \, \) kallas för en icke-hävbar diskontinuitet eftersom \( \, (x-3) \, \) är kvar i nämnaren av \( \, f(x) \).
Kontinuerlig fortsättning
Hävbara diskontinuiteter är "snälla" och kan "repareras". En ny funktion kan definieras som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuiteter, men är annars identisk med den. En sådan funktion kallas den kontinuerliga fortsättningen av den ursprungliga.
I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( \, f(x)\, \):s definition med ett värde för \( \, x = -3 \, \) som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig mot sin omgivning. Hur får man fram detta värde? Man gör det genom att beräkna \( \, g\,(-3) \):
- \[ g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]
Detta värde \( \, 1 \, \) läggs till i den nya funktionen för \( \, x = -3 \). Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av \( \, f(x) \). Modifikationen består just av det här tillägget. För alla andra \( \, x \, \) är den nya funktionen identisk med \( \, f(x) \).
Så här kan den nya funktionen definieras:
- \( \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3 \\ \\ 1 & \mbox{om } x = -3 \end{cases}\)
Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla \( \, x \neq -3\, \) definieras \( \, \hat{f}(x) \, \) enligt det rationella uttrycket för \( \, f(x)\, \).
- För \( \, x = -3\, \) har \( \, \hat{f}(x) \, \) värdet \( 1\, \).
\(\hat{f}(x) \, \) kallas den kontinuerliga fortsättningen av \( \ f(x) \) och är helt och hållet identisk med den förkortade form som vi hade fått tidigare:
- \[ \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} \]
I praktiskt beräkningssammanhang och när man ritar grafen föredrar man förstås denna enkla form. Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen \( f(x)\, \), att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte direkt varifrån den kommer, att den är en kontinuerlig fortsättning av \( f(x)\, \).
Den andra faktorn \( (x-3)\, \) både i \( \,f(x)\):s och \( \, \hat{f}(x)\):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten \( \, x = 3 \). När \( \, x\, \) går mot \( \, 3\, \) går \( \, f(x)\, \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten. Därför är diskontinuiteten i \( x = 3\, \) kvar och synlig i graferna till både \( \, f(x)\, \) och \( \, \hat{f}(x) \, \). Den är, till skillnad från den första, en icke-hävbar diskontinuitet och kan inte "repareras" på något sätt. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \, \hat{f}(x) \). Så \( \, \hat{f}(x) \, \) har en diskontinuitet kvar medan \( f(x)\, \) hade två diskontinuiteter.
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
