1.6 Absolutbelopp

\( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Diagnosprov 1 kap 1

Diagnosprov 2 kap 1

Lösningar till diagnosprov 1 kap 1

Lösningar till diagnosprov 2 kap 1

Lektion 10 Absolutbelopp

Några exempel på absolutbelopp

Exempel 1 Åldersskillnad

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara \( \, < \, 6 \, \) år.

I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger

efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

\( \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, \)

\( \qquad\qquad \)

\( 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 \)

\( 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 \)

\( 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} \)

\( \quad \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} \)

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat.

Faktiskt är en negativ åldersskillnad inte meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

\( { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} \)

\( \qquad\quad \)

\( { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 \)

\( { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 \)

\( { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} \)

\( \quad \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)

\( {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} \)

Nu stämmer det. Ändringen i den sista utskriften beror på följande:

\[ { \color{Red} |} \, 22 \quad - \quad 26 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 4 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 \]

\( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) tar bort minustecknet från \( -4\, \) och returnerar \( 4\, \). Därför: \( { \color{Red} |} \, - 4 \, { \color{Red} |} = 4 \).

Exempel 2:

Vad är \( | \, - 5 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = -5 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 \).

Svar: \( \; | \, - 5 \, | = 5 \).

Exempel 3:

Vad är \( | \, 0 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 0 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 0 \, | = 0\, \).

Svar: \( \; | \, 0 \, | = 0 \).

Exempel 4:

Vad är \( | \, a + 2 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom vi inte känner till \( \, a\):s värde och därför inte vet om \( \, a + 2 \) blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

Fall 1 \( \quad a + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a \geq -2 \)

Eftersom \( x = a + 2 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | = a + 2\, \).

Fall 2 \( \quad a + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a < -2 \)

Eftersom \( \; x = a + 2 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, \).

Svar: \( \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ \end{cases} \)

Exempel 1 Åldersskillnad

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för policyn att åldersskillnaden mellan två partner ska vara mindre än \( 6 \, \) år.

För att beräkna åldersskillnaden i sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

\( \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, \)

\( \qquad\qquad\qquad \)

\( 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 \)

\( 30 \quad - \quad 23 \quad = \quad 7 \)

\( 22 \quad - \quad 26 \quad = \quad \boxed{-4} \)

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten blir konfunderad över den sista utskriften som är negativ, och undrar om åldersskillnad kan vara negativ.

Faktiskt är det meningslöst att ange åldersskillnaden med ett negativt tal. Åldersskillnad måste alltid vara positiv för att vara meningsfull.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

\( { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} \)

\( \qquad\qquad \)

\( { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 \)

\( { \color{Red} |} \, 30 \quad - \quad 23 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 \)

\( { \color{Red} |} \, 22 \quad - \quad 26 \, { \color{Red} |} \quad = \quad \boxed{4} \)

Nu känns det ok. Ändringen i den sista utskriften beror på följande:

\[ { \color{Red} |} \, 22 \quad - \quad 26 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 4 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 \]

\( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) tar bort minustecknet från \( -4\, \) och returnerar \( 4\, \). Därför: \( { \color{Red} |} \, - 4 \, { \color{Red} |} = 4 \).

De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) som skrivs kring ett värde eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.

Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde.

Exempel på absolutbelopp

\[ | \, - 7 \, | \, = \, 7 \]

\[ | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 \]

\[ \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} \]

\[ | \; 23 \; | \, = \, 23 \]

\[ | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 \]

\[ \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 \]

\[ \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } \]

\[ \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } \]

\[ \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} \]

\[ | \, i \, | \, = \, 1 \]

\[ | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \]

Om talet är negativt tar absolutbeloppet bort bara minustecknet och returnerar talets positiva värde. Men om talet är positivt eller \( 0\, \) gör absolutbeloppet ingenting.

Därför lämpar sig absolutbeloppet för att modellera storheter som av sin natur är positiva, som t.ex. åldersskillnaden. Ett annat exempel är avståndet.

Exempel 2 Avstånd mellan två tal

Vad är avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \)? Svar: \( \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \)

Vad är då avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \)? Gör man samma sak blir svaret: \( \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \)

Men vi vet att avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) är \( 3 \, \) och inte \( -3 \, \). Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt, precis som åldersskillnad.

Korrekt svar:

\[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

\[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Nu kan vi beskriva avståndet mellan två tal generellt med hjälp av absolutbeloppet:

Avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \) är \( \; | \, a - b \, | \; \) eller \( \; | \, b - a \, | \; \).

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller nämligen generellt: \( \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, b - a \, | \)

Avstånd från \( \, 0 \, \)

Om vi i den nya definitionen för avstånd \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \) för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:

\[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \]

Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:

\[ | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 \]

\( 5 \, \) är alltså talet \( \, -5\):s avstånd från \( 0 \, \).

Detta gäller för alla tal, vilket ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet:

Ett tals absolutbelopp är talets avstånd från 0.

Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet. Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

Allmän definition, funktion och graf

Absolutbeloppet \( \; | \, x \, | \; \) av ett tal \( x\, \) definieras genom:

\[ | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases} \]

Grafen till funktionen \( \; y = | \, x \, | \; \) ser ut så här:

\( \qquad \)

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla \( x \, \).

OBS! I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.

Exempel 1:

Vad är \( | \, 7 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 7 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 7 \, | = 7\, \).

Svar: \( \; | \, 7 \, | = 7 \).

Exempel 2:

Vad är \( | \, - 5 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = -5 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 \).

Svar: \( \; | \, - 5 \, | = 5 \).

Exempel 3:

Vad är \( | \, 0 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 0 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 0 \, | = 0\, \).

Svar: \( \; | \, 0 \, | = 0 \).

Exempel 4:

Vad är \( | \, a + 2 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom vi inte känner till \( \, a\):s värde och därför inte vet om \( \, a + 2 \) blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

Fall 1 \( \quad a + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a \geq -2 \)

Eftersom \( x = a + 2 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | = a + 2\, \).

Fall 2 \( \quad a + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a < -2 \)

Eftersom \( \; x = a + 2 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, \).

Svar: \( \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ \end{cases} \)

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

Ekvationer med absolutbelopp

Lös ekvationen \( \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, \).

Lösning:

Eftersom vi inte känner till \( \, x\) måste vi skilja mellan två fall:

Fall 1 \( \quad x + 1 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( x + 1\, \). Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:

\[\begin{align} x + 1 & = 3 \\ x & = 3 - 1 \\ x_1 & = 2 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( \, x \geq -1 \). Men faktiskt är \( 2 \geq -1 \). Därmed kan vi godta denna lösning. Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se nästa uppgift.

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller obligatoriska. I nästa uppgift (se nedan) förekommer faktiskt en falsk rot.

Fall 2 \( \quad x + 1 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( -(x + 1) = -x - 1\, \). Dvs i det här fallet måste vi ersätta \( x + 1\, \) med \( -x - 1\, \), när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

\[\begin{align} -x - 1 & = 3 \\ -3 - 1 & = x \\ -4 & = x \\ x_2 & = -4 \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( \, x < -1\, \). Men faktiskt är \( -4 < -1\, \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar: \(\begin{align} \; \, \; x_1 & = 2 \\ x_2 & = -4 \end{align}\)

Vi ritar i samma koordinatsystem.graferna till de två funktionerna:

\( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\ \\ y_2 & = 3 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Graferna bekräftar att det finns två lösningar. Även grafernas skärningspunkter \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -4\, \) bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen \( \; | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \; \).

Lös ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x\, = \, 1 \, \).

Lösning:

Fall 1 \( \; x - 3 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = x - 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} x - 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,x - 3 & = 1 \\ - 3 - 1 & = x \\ - 4 & = x \\ x_1 & = - 4 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( \, x \geq 3 \). Faktiskt är \( - 4 \not\ge 3 \).

Därmed måste vi förkasta denna lösning: \( \quad x_1 = - 4\, \) är en falsk rot.

Fall 2 \( \quad x - 3 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = -(x - 3) = -x + 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} -\,x + 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,3\,x + 3 & = 1 \\ 3 - 1 & = 3\,x \\ 2 & = 3\,x \\ {2 \over 3} & = x \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( \, x < 3\, \). Det stämmer att \( {2 \over 3} \) \( < 3 \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har endast denna lösning.

Svar: \(\begin{align} \; \, \; x & = {2 \over 3} \end{align}\)

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:

\( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x - 3 \, | \\ \\ y_2 & = 2\,x + 1 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Graferna bekräftar att det finns endast en lösning. Även grafernas skärningspunkt \( {2 \over 3} \) bekräftar den lösning vi fått för ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x \, = \, 1 \; \).

Olikheter med absolutbelopp

Lös olikheten \( \; \, | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \, \).

Lösning:

Fall 1 \( \quad x + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = x + 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} x + 2 & < 4 \\ x & < 4 -2 \\ x & < 2 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 1:s förutsättning \( \; x \geq -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 1: \( \quad \;\; -2 \leq x < 2\, \)

Fall 2 \( \quad x + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = -(x + 2) = -x - 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} -\,x - 2 & < 4 \\ -\,4 - 2 & < x \\ -\,6 & < x \\ x & > -\,6 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 2:s förutsättning \( \; x < -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 2: \( \quad \;\; -6 < x < -2\, \)

Om vi nu sammanfogar Svar för fall 1 med Svar för fall 2 får vi:

Svar: \( \; \;\; -6 < x < 2\, \)

På bilden visas i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:

\( \qquad\qquad \begin{align} y & = | \, x + 2 \, | \\ \\ y & = 4 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Olikhetens lösning är markerad med rött. Den består av alla \( x \, \) för vilka grafen till \( y = | \, x + 2 \, | \) befinner sig under grafen till \( y = 4\, \) dvs alla \( x \, \) för vilka \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \).

Svar: Olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) har lösningen \( \, -6 < x < 2 \) .

I denna uppgift ovan har vi visat:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

I nästa uppgift visas att även det omvända gäller:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftarrow \quad -6 < x < 2 \]

Dvs vi har ekvivalens mellan olikheten och intervallet:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

Intervall med absolutbelopp

Skriv om intervallet \( \; -6 < x < 2 \; \) till en olikhet med hjälp av absolutbelopp.

Vi vänder alltså på frågeställningen:

Vi antar att vi har lösningen \( \; -6 < x < 2 \; \) och söker olikheten som har denna lösning.

Lösning:

Sådana uppgifter löses i två steg:

Hitta intervallets mittpunkt \( \, = \, \) intervallgränsernas medelvärde som vi kallar för \( {\rm M } \).

Hitta intervallets halva längd som vi kallar för intervallets radie och betecknar med \( {\rm r } \).

Då kan intervallet skrivas om till olikeheten: \( | \, x \,- {\rm M } \, | < \, {\rm r } \) .

Låt oss börja med att hitta mittpunkten till intervallet \( \,-6 < x < 2 \, \) som är medelvärdet av \( \,-6 \, \) och \( \, 2 \, \):

\[ {\rm M } = {-6 + 2 \over 2} = {-4 \over 2} = -2 \]

Sedan beräknar vi intervallets halva längd genom dra av intervallgränserna från varandra (oavsett ordning), dela med 2 och sätta det hela inom absolutbelopp eftersom längd alltid är positiv:

\[ {\rm r } = \left| {-6 - 2 \over 2} \, \right| = \left| {-8 \over 2} \, \right| = | -4 \, | = 4 \]

Därmed kan intervallet skrivas om till olikeheten:

\[ \; | \, x \,- {\rm M } \, | < \, {\rm r } \; = \; | \, x - (-2) \, | < 4 \; \; {\rm dvs} \; \; | \, x + 2 \, | < 4 \]

Svar: Intervallet \( -6 < x < 2 \, \) kan skrivas om till olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) .

Med de beteckningar som vi införde ovan kan vi sammanfattningsvis formulera ekvivalensen mellan olikhet och intervall:

\( | \, x - {\rm M } \, | \, < \, {\rm r } \qquad \Longleftrightarrow \qquad {\rm M } - {\rm r } \; < \; x \; < \; {\rm M } + {\rm r } \)

där \( {\rm M } \) är intervallets mittpunkt och \( {\rm r } \) intervallets halva längd eller "radie".

För att beskriva en (sammanhängande) talmängd kan man antingen använda en olikhet med absolutbelopp eller ett intervall.

Valet av beteckningarna \( {\rm M } \) för mittpunkten och \( {\rm r } \) för "radien" ska associera tankarna till den tvådimensionella generaliseringen av olikheten \( | x - {\rm M } | < {\rm r } \) till \( || x - {\rm M } || < {\rm r } \) . Här har absolutbeloppet \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) ersatts av något som kallas norm \( \; {\color{Red} {||}} \, \quad \, {\color{Red} {||}} \; \) och fortfarande kan tolkas som avstånd, fast nu mellan två punkter. Den nya olikheten beskriver en punktmängd bestående av alla punkter \( \,x \) i planet som ligger i en cirkel med medelpunkten \( {\rm M } \) och radien \( {\rm r } \). Cirkeln är då generaliseringen av intervallet. Ersätter man olikhetstecknet med likhet får man cirkelns ekvation \(|| x - {\rm M } || = {\rm r }\), mängden av alla punkter \( \,x \) som har samma avstånd \( {\rm r } \) från medelpunkten \( {\rm M } \).