2.6 Lösning 7a
Fibonaccis funktion \( \, F(n) \, \) är diskret som inte går att använda limes på.
Därför går det inte att derivera den med derivatans definition eller med någon deriveringsregel.
Men låt oss bortse från att \( \, F(n) \, \) är en diskret funktion och leta efter en deriveringsregel.
Fibonaccis funktion \( \, F(n) \, \) involverar exponentialuttrycken:
- \[ \left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n \quad {\rm och} \quad \left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n \]
Därför vore den enda deriveringsregel som ev. skulle kunna komma i fråga:
\( y\, \) \( y\,' \) \( \qquad a\,^x \qquad \) \( \quad a\,^x \cdot \ln a \quad \)
Men eftersom basen i Fibonacci-funktionens andra exponentialuttryck är negativ:
- \[ {1-\sqrt{5}\over 2} \, < \, 0 \]
kan deriveringsregeln \( \, y\,' = a\,^x \cdot \ln a \, \) inte användas, därför att:
\( \ln a \, \) är inte definierad för \( \, a < 0 \, \). Dvs:
- \[ \ln\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right) \quad {\rm är\;inte\;definierad.} \]
Därför går det inte att derivera Fibonaccis funktion \( \, F(n) \, \) med denna deriveringsregel.
