3.1 Lösning 4b

Från a) vet vi att derivatan

\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]

har två nollställen \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \).

Teckenstudie kring

• nollstället \( \, x_1 = 1 \, \):

\[ f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]

\[ f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]

• nollstället \( \, x_2 = 5 \, \):

\[ f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]

\[ f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]

Vi inför resultaten i en teckentabell:

\(x\)		\(1\)		\(5\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( f(x) \)	↘		↗		↘

Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt reglerna om växande och avtagande dra slutsatserna:

      För alla \( \qquad\quad\;\, x \, < \,1 \, \) är \(\, f(x) \) avtagande.

      I intervallet \( \; 1 < x \,< \, 5 \, \) är \(\, f(x) \) växande.

      För alla \( \qquad\quad\; x \, > \, 5 \; \) är \(\, f(x) \) avtagande.