3.4 Lösning 2b

Lokala maxima och minima:

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ f''(x) & = & - 2\,x \end{array}\]

Sätter derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar derivatans nollställen:

\[ \qquad\;\; \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 1 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & -1 \end{array}\]

Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan:

\( \qquad\quad \underline{x_1 = 1} \, \):

\( \quad \)

\[ \;\; f''(x) \, = \, - 2\,x \] \[ \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \]

\( \qquad\quad \underline{x_2 = -1} \):

\( \quad \)

\( f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = -1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \)

De lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:

\[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]

\[ f(1) \, = \, \displaystyle 1 \, - \, \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \; \Longrightarrow \quad (1, \frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]

\[ f(-1) \, = \, \displaystyle{-1 \, - \, \frac{-1}{3} = -1 \, + \, \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \quad \Longrightarrow \quad\; (-1, -\frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]

Globala maxima och minima:   Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, -3 \, \) och \( \, 3 \) :

\[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]

\[ f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} = -6 \]

\[ f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} = -3 \, + \, 9 = 6 \]

Jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater: +++

Lokala minimivärdet var \( \, 6 \, \), se a), steg 4.

\[ -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} \]

Lokala maximivärdet var \( \, 10 \, \), se a), steg 4.

\[ 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} \]

De globala extremvärdena \( \, -10 \, \) och \( \, 26 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter

därför att intervallet \( \, 1 \leq x \leq 7 \, \) är slutet, dvs ändarna tillhör intervallet.