2.3a Lösning 11

Vi förenklar uttrycket i limes först genom att förlänga det med konjugatet:

\[ x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \, = \, \]

\[ \qquad\qquad = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} \]

Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med \( x \, \):

\[ \begin{array}{rcl} {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\ & = & {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \end{array}\]

Nu kan vi beräkna gränsvärdet:

\[ \lim_{x \to \infty}\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \,=\, \lim_{x \to \infty}\,{1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 0}} } \,=\, {1 \over 2} \]