3.2 Lösning 1a

Vi deriverar två gånger:

\[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]

\[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]

\[ f''(x) \, = \, - 18 \]

För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 18\,x \\ & & {6 \over 18} & = & x \\ & & x & = & {1 \over 3} \end{array}\]

Därmed är det bevisat att \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är en extrempunkt.

För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum sätter vi \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ f''\left({1 \over 3}\right) = - 18 \,<\, 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( \displaystyle x = {1 \over 3} \, \). Därför har \( \, f(x) \, \) ett maximum i \( \displaystyle x = {1 \over 3} \, \).

Yulia når sin högsta höjd efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund.