1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

Innehåll

1 Talet e
2 Exponentialfunktionen med basen e
3 Den naturliga logaritmen
4 Internetlänkar

Talet e

En av matematikens mest kända konstanter är talet e, även kallat Eulers tal efter den schweiziske matematikern Leonard Euler som på 1700-talet presenterade formler för detta märkliga tal. Märkligt, därför att e inte ett rationellt tal, dvs inte kan skrivas som ett bråk (kvot mellan två heltal), precis som \( \pi,\, \sqrt{2},\, \cdots \). Sådana tal kallas irrationella. Anledningen till att de inte kan skrivas som kvoter mellan två heltal är att de har oändligt många decimaler utan något som helst mönster som upprepas (period). De första 5 miljoner olika decimaler av talet e kan man beskåda på Internet. En av de mest uppmärksammade förekomsterna av talet e är att det figurerar i en av matematikens vackraste formlerna, nämligen sambandet mellan heltalet \( 1\, \) och de irrationella talen \( e,\;\pi \) och den s.k. imaginära eneheten \( i\, \) som är symbolen för det (för oss) oberäknebara "talet" \( \sqrt{-1} \):

\[ e^{\,2\,\pi\,i} \; = \; 1 \]

Men hur kan vi själva beräkna talet e? Det enklaste sättet är väl att ta fram en räknare, leta efter funktionen \( e^x\, \) och mata in \( e\,\)^\((1)\, \) för att få närmevärdet \(2,718281828\,\) till talet e. Om man nöjer sig med detta är det helt o.k. Men om man vill veta lite mer om hur detta närmevärde kommer till, kan man använda en av Eulers formler för e som ser ut så här:

\[ e \; \to \; \left(1 + {1 \over x}\right)^x \; \] när \( x\,\to\,\infty \)

Detta betyder att x närmar sig xxx går mot

Datum	Anzahl der Dezimalstellen	Mathematiker
1748	18	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1946	808	?
1949	2.010	John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC)
1961	100.265	Daniel Shanks & John Wrench
1981	116.000	Stephen Gary Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II)
1994	10.000.000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997	18.199.978	Patrick Demichel