2.7 Numerisk derivering

Teori

Övningar

Varför numerisk derivering?

Numerisk derivering är en metod för approximativ beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett nämevärde för derivatan. Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett nämevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de deriveringsregler som vi sammanställde i en tabell i förra avsnitt? Svaret är: Ibland eller t.o.m. ofta kan vi inte det, vilket blir klarare om vi tittar på den numeriska deriveringens användningsområden. Numerisk derivering används ofta i följande situationer:

• När vi ska derivera en funktion som inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Ett exempel är:

\[ f(x) = {2 \over e\,^x + 1} \]

Denna funktion kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills.

• När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att beräkningen av derivatans värden tar mer tid än numerisk derivering. Exempel:

\[ f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \]

\[ f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} \]

För det första är det inte enkelt att ställa upp \( f\,'(x) \) med en deriveringsregel, den s.k. kvotregeln som vi inte känner till ännu, utan kommer att lära oss i Matte D.

För det andra visar exemplet att det är väsentligt enklare att beräkna funktionsvärden av typ \( f(2)\, \) än t.ex. \( f\,'(2) \). I de numeriska deriveringsformlerna ingår endast beräkningar av funktionsvärden för \( f(x)\, \), inte för \( f\,'(x) \).

• När vi ska derivera en funktion som är given i tabellform, dvs numeriskt, t.ex.:

Denna funktion saknar algebraisk formel. Ändå uppfyller den definitionen på en funktion, nämligen att vara en "regel som tilldelar varje \( x\, \)-värde endast ett \( y\, \)-värde."

Det finns ingen annan möjlighet att derivera en sådan funktion än numerisk derivering.

Det finns en uppsjö av numeriska deriveringsformler. Vi behandlar i detta avsnitt de vanligaste:

• Framåtdifferenskvoten

• Bakåtdifferenskvoten

• Centrala differenskvoten

Framåtdifferenskvoten

Derivatan \( y = f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Framåtdifferenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a + h) \, - \, f(a) \over h} \; = \; \) Sekanten F:s lutning

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Bakåtdifferenskvoten

Derivatan \( y = f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Bakåtdifferenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a) \, - \, f(a-h) \over h} \; = \; \) Sekanten B:s lutning

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Centrala differenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Centrala differenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a + h) \, - \, f(a-h) \over 2\,h} \; = \; \) Sekanten C:s lutning

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0

http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk

http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related

http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm

http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132

Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.