2.5 Övningar till Deriveringsregler

Från Mathonline
Version från den 18 januari 2014 kl. 13.43 av Taifun (Diskussion | bidrag)

Hoppa till: navigering, sök
       Teori          Övningar      


Anta alltid \( y = f(x)\, \).

G-övningar: 1-6

Övning 1

Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = -8\, \)

b) \( y = 12\,x + 7 \)

c) \( y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 \)

d) \( y = x\, \)

e) \( y = - x\, \)

f) \( y = x + 6\, \)

g) \( y = - x + 25\, \)

Alternativt:

Svar 1a | Svar 1b | Svar 1c | Svar 1d | Svar 1e | Svar 1f | Svar 1g

Övning 2

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = {x \over 2} \)


b) \( y = 0,2\,x^5 + x \)


c) \( y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25 \)


d) \( y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5} \)


e) \( y = 15 - {x + 3 \over 2} \)


f) \( y = (3\,x - 5)^2 \)

Alternativt:

Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d | Lösning 2d | Svar 2e | Lösning 2e | Svar 2f | Lösning 2f

Övning 3

Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = {2 \over x} \)


b) \( y = -{3 \over x} + \sqrt{5} \)


c) \( y = 6 - 2\,\sqrt{x} \)


d) \( y = 7\,x^4 - {25 \over x} \)


e) \( y = {1 \over x^2} \)


f) \( y = {1 \over \sqrt{x}} \)

Alternativt:

Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c | Svar 3d | Lösning 3d | Svar 3e | Lösning 3e | Svar 3f | Lösning 3f

Övning 4

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = {x^2 + 3 \over x} \)


b) \( y = {x^2\,\sqrt{x}\over 5} \)


c) \( y = {2 \over 3}\,x\,\sqrt{x} - {1 \over x^2} \)


d) Beräkna \( f\,'(4)\, \) om \( f(x) = x^3 + {\sqrt{x} \over 2} \) med 3 decimaler.


e) Beräkna \( f\,'(1)\, \) om \( f(x) = {x^3 + x^2 + x - 1 \over x} \).

Alternativt:

Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b | Svar 4c | Lösning 4c | Svar 4d | Lösning 4d | Svar 4e | Lösning 4e

Övning 5

I det introducerande avsnittet Vad är derivatan? sysslade vi med följande aktivitet:

Lisa tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen

\[ y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\, \]

där \( y\, \) är Lisas höjd över vattnet (i meter) och \( x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).

Hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.

a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av \( f(x)\, \).

b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken hastighet Lisa slår i vattnet?

Alternativt:

Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b

Övning 6

Följande parabel är given:

\[ y = x^2 + 5\,x - 8 \]

a) Vilken lutning har parabeln i punkten \( x = 1\, \)?

b) Ange ekvationen för tangenten till parabeln i denna punkt.

c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.

Alternativt:

Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b

VG-övningar: 7-8

Övning 7

Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y = x^2 + 5 x - 1\, \]

i punkten \( x = -1\, \) .

Alternativt:

Svar 7 | Lösning 7

Övning 8

I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell

\[ y = 2\,x^4 + 2\,500 \]

där x är tiden i timmar.

Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara \( 1\,000 \) bakterier per timme?

Alternativt:

Svar 8 | Lösning 8

MVG-övningar: 9-10

Övning 9

För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) går kurvan

\[ y = a\,x^2 + b\,x \]

genom punkten \( (1, -1)\, \) och har där lutningen \( 4\, \) ?

Alternativt:

Svar 9 | Lösning 9

Övning 10

Kurvan

\[ y = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]

har en tangent som är parallell till den räta linjen \( y = x - 4\, \).

a) Rita kurvan.

b) Bestäm tangeringspunktens x- och y-koordinat.

c) Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan i tangeringspunkten.

d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som kurvan.

Alternativt:

Svar 10a | Svar 10b | Lösning 10b | Svar 10c | Lösning 10c | Svar 10d


Facit till övningar i deriveringsregler

1a

\( y\,' = 0 \)

1b

\( y\,' = 12 \)

1c

\[ y\,' = 8\,x - 25 \]

1d

\( y\,' = 1 \)

1e

\( y\,' = -1 \)

1f

\( y\,' = 1 \)

1g

\( y\,' = -1 \)

2a

\( y\,' = {1 \over 2} \)

2b

\( y\,' = x^4 + 1 \)

2c

\( y\,' = x - {3 \over 4} \)

2d

\( y\,' = {8 \over 5}\,(x - 1) \)

2e

\( y\,' = - {1 \over 2} \)

2f

\( y\,' = 18\,x - 30 \)

3a

\( y\,' = -{2 \over x^2} \)

3b

\( y\,' = {3 \over x^2} \)

3c

\( y\,' = -{1 \over \sqrt{x}} \)

3d

\( y\,' = 28\,x^3 + {25 \over x^2} \)

3e

\( y\,' = -\,{2 \over x^3} \)

3f

\( y\,' = -{1\over 2\,x\,\sqrt{x}} \)

4a

\( y\,' = 1 - {3 \over x^2} \)

4b

\( y\,' = {x\,\sqrt{x}\over 2} \)

4c

\( y\,' = \sqrt{x} + {2 \over x^3}\)

4d

\( 48,125\, \)

4e

\( 4\, \)

5a

\( f\,'(x) = - 18\,x + 6 \)

5b

\( - 20,1\, \) meter per sekund

6a

\( 7\, \)

6b

\( y = 7\,x - 9 \)

7

\( 3\,x - 2 \)

8

\( 5\, \)

9

\( a = \;\;\, 5\, \)

\( b = -6\, \)

10b

\( (1, -5)\, \)

10c

\( y = x - 6\, \)


Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.