1.1 Polynom

Lösning: Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar x-potenserna i fallande ordning\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \]

Grad

Den högst förekommande x-potensen i ett polynom dvs den största exponenten till x bland polynomets alla termer kallas polynomets grad.

Polynomet \( x^4 - 29\;x^2 + 100 \) har graden 4 eftersom den högst förekommande x-potensen har exponenten 4.

I de inledande exemplen ovan har polynomen graderna 1, 2, 3 och 4 i den ordning de är angivna.

Koefficienter

Talen framför x-potenserna kallas polynomets koefficienter.

Polynomet \( 4\,x + 12 \) har koefficienterna \(4\,\) och \(12\,\).

Polynomet \( 3\,x^2 + 5\,x - 16 \) har koefficienterna \(3, 5\,\) och \(-16\,\).

Ett polynoms värde

Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för \(x\,\).

Uppgift: Följande polynom är givet:

\[ 8\,x^3 - 4\,x \]

Beräkna polynomets värde för \( x = 0,5\, \).

Lösning: Vi sätter in \( 0,5\,\) för \(x\,\) i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde\[ 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,\]

Det givna polynomets värde för \( x = 0,5\, \) är \( -1\,\). För andra värden på \(x\,\) kommer polynomet att ha andra värden.

Att räkna med polynom

Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom.

Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.

Ex.: Två polynom är givna\[ 6\,x^2 + 2\,x - 3 \]

\[ -6\,x^2 - 3\,x + 4 \]

Bilda deras summa, differens och produkt.

Summa = resultat av addition:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 = \underline{-\,x\,+\,1} \)

Differens = resultat av subtraktion:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 = \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}\)

Produkt = resultat av multiplikation:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 = \)

\( = \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} \)

Det man gör här hela tiden är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent. Att lösa upp parenteserna innebär i additionsexemplet att ta bort parenteserna utan åtgärd. Vid subtraktion däremot måste man vända om alla förtecken i den parentes som minustecknet står framför, allt enligt algebrans lagar för \( + \) och \( - \) . Vid multiplikation multipliceras varje term i den första parentesen in i den andra parentesen, dvs med alla termer i den, allt enligt algebrans distributivlag.

Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I vårt exempel är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir m + n om faktorernas grader är m och n, vilket är en konsekvens av första potenslagen.

Kvoten (resultatet av division) av två polynom är i regel inget polynom.

Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom. Det enklaste exemplet är uttrycket:

\[ 1 \over x \]

Detta uttryck kan å ena sidan uppfattas som kvoten (resultatet av division) mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Å andra sidan är \( 1/x \) enligt potenslagarna identiskt med:

\[ x^{-1}\, \]

Försöker man att identifiera detta som en term ser man att exponenten är negativ. Men ett polynoms termer måste ha exponenter till x som är positiva eller 0, se definitionen för term. Därför är uttrycket ovan inget polynom - ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom. Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som \(1 \over x\,\) eller \(x^{-1}\,\) är ett exempel på.

Denna nya klass av uttryck kallas rationella uttryck och kommer att behandlas senare i avsnitt 1.3.

Allmän definition

Ordet poly betyder på latin många och nom betyder term. Så polynom är närmare bestämt en summa av många termer. Ett exempel på term är följande:

\[ 8 \cdot x^3 \]

dvs en konstant gånger en x-potens. Generellt ser en term ut så här:

\[ a \cdot x^n \]

Som en summa av många sådana termer är ett polynom en speciell form av ett uttryck. Generellt har ett polynom av grad \(n\,\) följande form:

\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]

där \(n\,\) måste vara ett positivt heltal eller 0. Dvs \(n\,\) och därmed alla termers exponenter får varken vara negativa eller bråk (decimaltal).

Observera att uttrycket inte är ett polynom om någon term har en x-potens med negativ exponent eller ett bråk som exponent. Därför är t.ex. \( 1 \over x \) eller \( \sqrt x \) inga polynom, för \( {1 \over x} = x^{-1}\, \) och \( \sqrt x = x^{1\over2} \). Inte heller sådana uttryck som innehåller \( 1 \over x \) eller \( \sqrt x \), kan vara polynom.

Koefficienterna \(a_n\,\) är godtyckliga kända konstanter, medan \(x\,\) är en variabel som kan anta vilka värden som helst. \( a_0\, \) kallas den konstanta termen.

Det nedsänkta \(_n\,\)-et i \(a_n\,\) är en del av beteckningen och kallas index (subscript, skrivet nedsänkt). Indicerade beteckningar används i olika sammanhang, här för att associera koefficienten till x-potensens exponent.

Exempel: 5:e gradspolynomet

\[ x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9 \]

har koefficienterna:

\[a_5 = 1\,\]

\[a_4 = 3\,\]

\[a_3 = -8\,\]

\[a_2 = 12\,\]

\[a_1 = -54\,\]

\[a_0 = 9\,\]

Konvention: Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men som det sades inledningsvis brukar man börja med den term som har den högsta x-potensen, skriva termerna i avtagande exponentordning och avsluta med den konstanta termen, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur.

Polynomfunktioner

När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg \( y\, \) ger det upphov till en speciell typ av funktion, kallad polynomfunktion. Närmare bestämt är polynomfunktioner en generalisering samt utvidgning av de funktionstyper vi sysslat hittills med. I Matte 1c-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 4\,x + 12 \]

Till höger om likhetstecknet står ett polynom där \( x\, \) förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. Därför kallas \( 4 x\, \) polynomets linjära term. Dess koefficient är \( 4\, \). Polynomets konstanta term är \( 12\, \). Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte 2c-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

Här är graden 2. Koefficienten till den kvadratiska termen \( 3 x^2\, \) är \( 3\, \). Koefficienten till den linjära termen \( 5 x\, \) är \( 5\, \). Och koefficienten till den konstanta termen \( -16 x^0\, \) är \( -16\, \). Grafen till denna 2:a gradsfunktion är en parabel. Dessa funktioner är polynomfunktioner därför att uttrycken till höger om likhetstecken är polynom, eftersom de är summor av termer som uppfyller de villkor som vi införde för \( n\, \) - nämligen att vara ett positivt heltal eller 0. Vi har alltså i Matte 1c och 2c sysslat med polynomfunktioner där n var 0, 1 eller 2, men inte högre. Om du undrar varför även konstanterna \( -16\, \) och \( 12\, \) i exemplen ovan kan anses som "termer", kom ihåg att man kan skriva \( -16\, \) som:

\[ -16 \cdot x^0 \]

Att man kan göra så beror på att \( x^0 = 1\, \) enligt potenslagarna. Samma sak gäller för \( 12\, \) som också är en term därför att \( 12\, \) är lika med \( 12 x^0\, \). Därmed har vi identifierat både \( 4 x + 12\, \) och \( 3 x^2 + 5 x - 16\, \) som polynom.

I Matte 3c-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än 2. Vi tar som exempel följande 4:e gradspolynomfunktion\[ y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \] vars graf ser ut så här:

Som man ser är grafen mer komplicerad än parabeln. Den har mer minima och maxima och mer nollställen som inte av en tillfällighet är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen \( x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 \). Vi gjorde om denna ekvation till funktionen ovan så att ekvationens lösningar blev funktionens nollställen.

Ett polynoms nollställen

När polynomets värde blir 0 kallar man de x för vilka polynomets värde blir 0, polynomets nollställen. Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för x och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till ett värde, närmare bestämt till värdet 0 och beräkna x. Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de x för vilka ett polynom av en viss grad blir 0. Dessa x är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.

Exempel:

Bestäm alla nollställen till polynomet \( 5\,x^2 -\,20\,x \).

Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation\[ 5\,x^2 -\,20\,x = 0 \]

Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden\[\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0 \\ x\,(5\,x -\,20) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 5\,x_2 -\,20 & = 0 \\ x_2 & = 4 \\ \end{align}\]

Polynomets nollställen är alltså \( x_1 = 0\, \) och \( x_2 = 4\, \).