1.3 Fördjupning till Rationella uttryck
| Repetition Bråkräkning | Teori | Övningar | Fördjupning | Internetlänkar |
Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter
Vi har hittills använt bråktalens räkneregler för att räkna med rationella uttryck utan att stöta på några hinder. Men vi får inte glömma att rationella uttryck ändå är komplexare objekt. Därför är det inte förvånansvärt att de har egenskaper som inte längre kan jämföras med motsvarigheter hos bråktal. En av dessa visas upp när man förkortar dem efter faktorisering av täljaren och nämnaren.
Efter faktorisering av täljaren och nämnaren samt förkortning med faktorn \( (x+3)\, \) förenklas det rationella uttrycket väsentligt. Men denna förkortning är endast korrekt om \( x \not= -3 \) eftersom förkortning med \( (x+3)\,\) innebär division med 0 om \( x = -3\, \). Likhetstecknet mellan de rationella uttrycken gäller endast under förutsättningen \( x \not= -3 \). Det enklare uttrycket är identiskt med det ursprungliga inte för alla x utan för alla utom för \( x = -3\, \). Det blir ännu tydligare när vi betraktar dem som rationella funktioner. Då uppsår nämligen frågan: Vad händer med diskontinuiteten i \( x = -3 \) som försvinner efter att vi förkortat uttrycket med faktorn \( (x+3) \)? Och vad är det för skillnad mellan diskontinuiteterna i \( x = -3 \) och \( x = 3 \)? För att undersöka dessa frågor skriver vi dem som funktioner och ritar båda funktioners grafer:
- \[\begin{align} y_3 & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,(x + 3) \over (x + 3)\,(x - 3)} \\ \\ y_4 & = {2\,x \over x - 3}\end{align} \] Fil:Vit 5,64cm.jpg Fil:14ay Förkort Förläng 2 1 disk.jpg
I den vänstra delen av bilden ser man grafen till funktionen \( y_3\,\) och i den högra delen grafen till funktionen \( y_4\,\). Till synes visar resultatet helt identiska kurvor. Men i själva verket vet vi att funktionen \( y_3 \) inte är definierad för \( x = -3 \) och har en diskontinuitet där. Därför har dess graf (kurvan till vänster) ett "hål" eller en "lucka" i \( x = -3 \) som man inte ser. Så grafen lurar oss. Vi måste hålla oss till \( y_3 \):s funktionsuttryck ovan som klart visar två diskontinuiteter, en i \( x = -3 \) och den andra i \( x = 3 \). Den första som vi lyckades få bort genom förkortning, är en s.k. hävbar diskontinuitet medan den andra är icke-hävbar. Utan att gå närmare in på detta (överkurs) kan vi bara säga att hävbara diskontinuiteter är sådana som är "snälla" och kan repareras. I det här fallet skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( y_3 \):s definition med att \( y_3 \) ska vara 1 för \( x = -3 \). Man kan nämligen visa att \( y_3 \) går mot ett ändligt värde när x går mot -3 båda från vänster och höger. Vi behöver inte genomföra beviset utan kan nöja oss med att förkorta uttrycket med faktorn \( (x+3) \). Att det ändliga värdet, det s.k. gränsvärdet, blir 1 kan vi få fram genom att beräkna värdet av \( y_4 \) för \( x = -3 \):
- \[ y_4 (-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]
Då är det möjligt att definiera en ny funktion \( \tilde{y}_3 \) som är lite modifierad gentemot \( y_3\, \). Modifikationen består i att lägga till värdet 1 i den nya funktionen för \( x = -3 \) så att den blir både definierad och kontinuerlig för \( x = -3 \). Annars är den identisk med \( y_3\, \). Så här brukar man definiera den nya funktion \( \tilde{y}_3 \):
- \[\tilde{y}_3 = \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} &, \text{om}\; x \neq -3 \\ \\ \quad 1 &, \text{om}\; x = -3 \end{cases}\]
Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla x utom \( x = -3 \) definieras funktionen \( \tilde{y}_3 \) enligt det rationella uttrycket för \( y_3\, \), medan för \( x = -3 \) har den värdet 1. \( \tilde{y}_3 \) kallas den kontinuerliga fortsättningen av \( y_3 \). Den är lämpligare att användas istället för \( y_3 \) eftersom man hat lyckats att eliminera åtminstone den hävbara diskontinuiteten.
Den andra faktorn \( (x-3) \) i \( y_3 \):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten av \( y_3 \) i \( x = 3 \). Denna diskontinuitet är dock inte hävbar. I \( x = 3 \) går \( y_3 \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten när x går mot 3. Därför är diskontinuiteten i \( x = 3 \) kvar och synlig i graferna av både \( y_3 \) och \( y_4 \). Den är, till skillnad från den första, en icke-hävbar diskontinuitet och kan inte repareras på något sätt. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \tilde{y}_3 \) och är icke-hävbar även där.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
