1.3 Rationella uttryck

Repetition Bråkräkning

Teori

Övningar

Fördjupning

Internetlänkar

Lektion 8 Rationella uttryck II

Vad är ett rationellt uttryck?

Ett heltal är ett tal ur mängden \( \{\dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots\} \) dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.

Ett rationellt tal är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex.:

\[ 3 \over 4 \]

Rationellt tal är synonym till tal i bråkform. \( 0\, \) får inte förekomma i nämnaren, för division med \( 0\, \) ger inget tal och är därför inte definierad.

Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex.:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

Analogin mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå igenom som en röd tråd i detta avsnitt.

Nämnaren \( x^2 - 1\, \) får inte vara \( 0\, \). Detta innebär att \( x\, \) varken får vara \( 1\, \) eller \( -1\, \), för då blir polynomet \( x^2 - 1\, \):s värde, \( 0\, \) och därmed inte definierat.

Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla \( x\, \) utom för \( x = 1\, \) och \( x = -1\, \).

Uttryckets definitionsmängd är:

\[ {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \]

Addition & subtraktion av rationella uttryck

Avsikten med detta avsnitt är inte att vi ska lära oss räkna med bråktal, för det har vi (förhoppningsvis!) redan gjort i Matte A-kursen. Utan avsikten är att inse att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.

Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan medför bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck var en naturlig fortsättning av de regler som gällde för räkning med bråktal. Därför kommer vi nu, när vi går igenom dessa räkneregler, alltid inleda med en repetition av regler som gäller för räkning med bråktal för att sedan generalisera och använda samma principer på räkning med rationella uttryck.

Vi kan nu använda samma principer för att addera och subtrahera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \]

\( {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 2\,x \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} 2\,x} \over 3\,x \cdot {\color{Red} 2\,x}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \)

Exempel 2

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \]

\( {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} 2\,x^2} \over 12\,x \cdot {\color{Red} 2\,x^2}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \)

Exempel 3

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \]

\( {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \)

Exempel 4

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \]

\( {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \)

\( = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} (x+2)}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} (x+2)}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \)

\( = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \)

\( = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \)

Multiplikation & division av rationella uttryck

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.