1.3 Lösning 6b

För att faktorisera polynomet \( 3\,x^2 + 3\,x - 6 \) beräknar vi dess nollställen:

\[ 3\,x^2 + 3\,x - 6 = 0 \]

För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform:

\[\begin{align} 3\,x^2 + 3\,x - 6 & = 0 \qquad & | \; / \, 3 \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ \end{align}\]

Normalformen ger Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -1 \\ x_1 \cdot x_2 & = -2 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = -2\,\) och \( x_2 = 1\,\) eftersom:

\[ \begin{align} -2 + 1 & = -1 \\ (-2)\cdot 1 & = -2 \end{align}\]

Därför har normalformen \( \, x^2 + x - 2\, \) följande faktorform: \( \; (x+2) \cdot (x-1) \).

Det ursprungliga polynomet \(3\,x^2 + 3\,x - 6\) har faktorformen: \( \; 3 \cdot (x+2) \cdot (x-1) \).

Kontroll:

\( 3 \cdot (x+2) \cdot (x-1) = 3 \cdot (x^2 - x + 2\,x - 2) = 3 \cdot (x^2 + x - 2) = \)

\[ = 3\,x^2 + 3\,x - 6 \]