1.3 Lösning 8b

För att faktorisera polynomet \( x^2 + 4\,x + 5 \) beräknar vi dess nollställen:

\[ x^2 + 4\,x + 5 = 0 \]

Använder vi p-q-formeln får vi:

\[\begin{align} x^2 + 4\,x + 5 & = 0 \\ x_{1,2} & = - 2 \pm \sqrt{4 - 5} \\ x_{1,2} & = - 2 \pm \sqrt{-1} \\ x_{1,2} & = - 2 \pm i \\ x_1 & = - 2 + i \\ x_2 & = - 2 - i \end{align}\]

Av ovanstående resultat följer att polynomet \( \; x^2 + 4\,x + 5 \; \) har följande komplex faktorisering:

\[ x^2 + 4\,x + 5 = (x + 2 - i) \cdot (x + 2 + i) \]

Kontroll:

\( (x + 2 - i) \cdot (x + 2 + i) \; = \; x^2 + 2x + ix + 2x + 4 + 2i -ix -2i - i^2 \; = \)

\( = \; x^2 + 2x + 2x + 4 - i^2 \; = \; x^2 + 4x + 4 - (-1) \; = \; x^2 + 4\,x + 5 \)