1.6 Lösning 6b

Från modellen \( \, y = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x \, \) får man följande ekvation genom att sätta y till det dubbla av startkapitalet 12 000 kr:

\[ 24\,000 = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x \]

Detta är en exponentialekvation.

\[\begin{align} 12\,000 \cdot (1,065)\,^x & = 24\,000 & &\;| \; /\,12\,000 \\ (1,065)\,^x & = 2 \quad & &: \;\text{Logaritmera båda leden} \\ \lg\,((1,065)\,^x) & = \lg\,2 \quad & &: \;\text{Använd 3:e logaritmlagen på VL} \\ x \cdot \lg(1,065) & = \lg 2 \\ x & = {\lg 2 \over \lg(1,065)} \\ x & = 11,00674 \end{align}\]

För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:

\[ 0,00674 \cdot 12 = 0,08087 \]

Detta blir avrundat 0 månader. Därför:

Startkapitalet kommer att fördubblas efter \( 11\, \) år (och 0 månader).