1.6a Lösning 5b

Fall 1: \( \;\; x + 1 \geq 0 \quad \;\; \) eller \( \;\;\quad x \geq -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 1 \, | = x + 1\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} x + 1 + 2\,x & = 3 \\ 3\,x + 1 & = 3 \\ 3\,x & = 3 - 1 \\ 3\,x & = 2 \\ x_1 & = {2 \over 3} \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x \geq -1 \).

Det stämmer att \( \displaystyle {2 \over 3} \geq -1 \). Därmed kan vi godta lösningen \( \displaystyle x_1 = {2 \over 3} \).

Fall 2: \( \;\; x + 1 < 0 \quad \;\; \) eller \( \;\;\quad x < -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 1 \, | = -(x + 1) = -x - 1\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} -\,x -1 + 2\,x & = 3 \\ x - 1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x < -1 \).

Faktiskt är \( 4 \not< -1 \) utan det gäller \( 4 > -1 \). Därmed måste vi förkasta lösningen \( x_2 = 4 \) som är en falsk rot.

Ekvationen har endast lösningen:

\[ x = {2 \over 3} \]

Lösningen bekräftas av grafen i 5a).