2.3a Lösning 10a
Faktoriserar täljaren \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):
- \[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & 0 \\ x^3 & = & 1 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ x & = & 1 \end{array}\]
Således: \[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } & \\ & = & (x-1) \; \cdot \; (\; a\,x^2 \; + \; b\,x \; + \; c\; ) & = \\ & = & a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ 1\cdot x^3 + 0\cdot x^2 + 0\cdot x - 1 & = & a\,x^3 + (b-a)\,x^2 + (c-b)\,x - c & \end{array}\]
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
\[ \begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b-a & = & 0 \\ c-b & = & 0 \\ c & = & 1 \end{array}\]
Genom insättning av \( a = 1\, \) i den 2:a ekvationen får vi:
\[ \begin{array}{rcl} b-1 & = & 0 \\ b & = & 1 \end{array}\]
Den 3:e ekvationen bekräftar resultaten.
Därmed blir faktoriseringen av \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):
\[ x^3\,-\,1 \, = \, (x-1) \cdot (x^2 \, + \, x \, + \, 1)\]
Faktoriserar nämnaren \( {\color{White} x} x^2\,-\,6\,x\,+\,5 {\color{White} x} \):
\[ x^2\,-\,6\,x\,+\,5 = 0 \]
Vietas formler:
\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-6) = 6 \\ x_1 \cdot x_2 & = 5 \end{align}\]
Man hittar lösningarna:
- \[ \begin{align} x_1 & = 1 \\ x_2 & = 5 \end{align}\]
eftersom \( 1 + 5 = 6 \) och \( 1 \cdot 5 = 5 \).
Därmed blir faktoriseringen av \( {\color{White} x} x^2\,-\,6\,x\,+\,5 {\color{White} x} \):
\[ x^2\,-\,6\,x\,+\,5 \, = \, (x-1) \cdot (x-5) \]
Beräknar gränsvärdet:
\[ \lim_{x \to 1}\,{x^3-1 \over x^2-6x+5} = \lim_{x \to 1}\,{(x-1) \cdot (x^2 + x + 1) \over (x-1) \cdot (x-5)} = \lim_{x \to 1}\,{x^2 + x + 1 \over x-5} = {1 + 1 + 1 \over 1-5} = - {3 \over 4} \]
