2.5 Lösning 2

Tangentens lutning i punkten \( (0, 1)\, \) är lika med kurvans lutning i denna punkt, dvs funktionen \(f(x)=e^x\,\):s derivata i punkten \( (0, 1)\, \). Därför bildar vi derivatan:

\[ f(x) = e\,^x \]

\[ f\,'(x) = e\,^x \]

Eftersom punkten \( (0, 1)\, \):s \( x\, \)-koordinat är \( 0\, \) sätter vi in \( 0\, \) för \( x\, \) i derivatan:

\[ f\,'(0) = e\,^0 = 1 \]

\( 1\, \) är funktionens derivata i punkten \( (0, 1)\, \) och därmed tangentens lutning. Därför är tangentens ekvation:

\[ y = k\cdot x + m \]

\[ y = 1\cdot x + m\, \]

För att bestämma \( m\, \) sätter vi i denna ekvation \( 0\, \) för \( x\, \) och \( 1\, \) för \( y\, \) eftersom tangenten går igenom punkten \( (0, 1)\, \):

\[ 1 = 1\cdot 0 + m\, \]

\[ 1 = m\, \]

Alltså blir tangentens ekvation:

\[ y = x + 1\, \]