2.5 Lösning 4
Tangentens lutning i punkten \( x = 0\, \) är lika med kurvans lutning i denna punkt, dvs funktionen \( f(x) = 2^x\, \):s derivata i punkten \( x = 0\, \). Därför bildar vi derivatan:
- \[ f(x) = 2\,^x \]
- \[ f\,'(x) = 2\,^x \cdot \ln 2 \]
Och sätter in \( 0\, \) för \( x\, \) i derivatan:
- \[ f\,'(0) = 2\,^0 \cdot \ln 2 = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2 \]
\( \ln 2\, \) är funktionens derivata i punkten \( x = 0\, \) och därmed tangentens lutning. Därför är tangentens ekvation:
- \[ y = k\cdot x + m \]
- \[ y = (\ln 2)\cdot x + m\, \]
Tangeringspunktens \( x\, \)-koordinat är \( 0\, \). Dess \( y\, \)-koordinat blir \( f(0) = 2\,^0 = 1 \) eftersom kurvan går igenom tangeringspunkten. Alltså har tangeringspunkten koordinaterna \( (0, 1)\, \).
För att bestämma \( m\, \) sätter vi i denna ekvation \( 0\, \) för \( x\, \) och \( 1\, \) för \( y\, \) eftersom tangenten går igenom tangeringspunkten \( (0, 1)\, \):
- \[ 1 = (\ln 2)\cdot 0 + m\, \]
- \[ 1 = m\, \]
Alltså blir tangentens ekvation:
- \[ y = (\ln 2)\cdot x + 1\, \]
- \[ y = 0,6931471806\cdots\;x + 1\, \]
