3.4 Lösning 6a

Kalles teckenstudie i intervallet \( \, -1 \leq 0 \leq 1 \, \) kring \( \, x = 0 \, \) är alldeles för grov.

Graferna i Lösning 7c visar vad som händer i intervallet ovan.

Ett tätare intervall behövs för att få korrekt resultat, t.ex.\( \, -0,1 \leq 0 \leq 0,1 \, \):

\[ \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 \]

\[ \, f\,'\,(x) \, = \, 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \, \]

\[ \, f\,''\,(x) \, = \, 12\,x^2 \, - \, 20\,x^3 \, \]

\[ f' (-0,1) = 4\cdot (-0,1)^3 \, - \, 5\cdot (-0,1)^4 \, = \, -0,0045 \, < 0 \]

\[ f' (0,1) = 4\cdot 0,1^3 \, - \, 5\cdot 0,1^4 \, = \, 0,0035 \, > 0 \]

\(x\)	\(-0,1\)	\(0\)	\(0,1\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\( \,f(x) \)	↘	Min	↗

Slutsats: \( \, x \, = \, 0 \, \) är en minimipunkt. Jennifer har rätt.

Regeln med 2:a derivatan kan inte användas här därför att 2:a derivatan i \( x = 0 \) är \( 0 \):

\[ \, f\,''\,(0) \, = \, 12 \cdot 0^2 \, - \, 20 \cdot 0^3 \, = \, 0 \, - \, 0 \, = \, 0\]

Enligt regeln måste 2:a derivatan vara \( \, > 0 \, \) för minimi- eller \( \, < 0 \, \) för maximipunkt.

Dessutom är även 3:e derivatan i \( x = 0 \) noll. Därför kan inte heller dras slutsatsen att \( x = 0 \) är en terasspunkt.