Skillnad mellan versioner av "1.3 Övningar till Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Övning 2)
m (Övning 2)
Rad 40: Rad 40:
  
  
d) <math> f(-1)\, </math> om <math> f(x) = {x^3 - x^2 - x - 1 \over x^3 + x^2 + x + 1} </math>  
+
d) <math> f(-1)\, </math> om <math> f(z) = {z^3 - z^2 - z - 1 \over z^3 + z^2 + z + 1} </math>  
  
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.4 Svar 2a|Lösning 2a|1.4 Lösning 2a|Svar 2b|1.4 Svar 2b|Lösning 2b|1.4 Lösning 2b|Svar 2c|1.4 Svar 2c|Lösning 2c|1.4 Lösning 2c|Svar 2d|1.4 Svar 2d|Lösning 2d|1.4 Lösning 2d}}
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.4 Svar 2a|Lösning 2a|1.4 Lösning 2a|Svar 2b|1.4 Svar 2b|Lösning 2b|1.4 Lösning 2b|Svar 2c|1.4 Svar 2c|Lösning 2c|1.4 Lösning 2c|Svar 2d|1.4 Svar 2d|Lösning 2d|1.4 Lösning 2d}}

Versionen från 16 januari 2011 kl. 12.44

       Teori          Övningar      


G-övningar: 1-6

Övning 1

För vilka värden på x är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?

a) \( x^2 + 1 \over 3\,x - 6 \)


b) \( x^2 - 5\,x + 3 \over (x+6) \cdot (x-1) \)


c) \( x^3 + 3\,x^2 -8\,x - 1 \over x^2 + 1 \)


d) \( 4\,x^4 -6\,x^2 + 1 \over x^2 - 16 \)

Övning 2

Beräkna exakt

a) \( f(3)\, \) om \( f(x) = {x^2 - 4\,x + 3 \over 2\,x^2 + 3} \)


b) \( g(2)\, \) om \( g(x) = {3\,x^2 - 2\,x \over x\,(x+1)} \)


c) \( h(-1)\, \) om \( h(x) = {x^3 - x^2 - 1 \over x^3 + x^2 + x} \)


d) \( f(-1)\, \) om \( f(z) = {z^3 - z^2 - z - 1 \over z^3 + z^2 + z + 1} \)

Övning 3

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt och skriv om det till ett polynom:

a) \( \displaystyle P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \)

b) Använd svaret i a) för att beräkna \(\displaystyle P(-1)\).

c) Bestäm alla nollställen till det polynom du fick i a).

Övning 4

Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)

b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.

Övning 5

En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

Övning 6

Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.

VG-övningar: 7-10

Övning 7

Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]

\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)

Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

Övning 8

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]

Övning 9

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]

Övning 10

Två polynom är givna\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]

\( Q(x) = 4 \cdot x - 6 \)

För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)?

MVG-övningar: 11-12

Övning 11

Följande 2:a gradspolynom är givet:

\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]

a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.

b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]

Övning 12

Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som

\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]

vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:

a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s rötter \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.