Skillnad mellan versioner av "1.4 Talet e och den naturliga logaritmen"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 37: | Rad 37: | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<small> | <small> | ||
| − | ==== <b><span style="color:#931136"> | + | ==== <b><span style="color:#931136">OBS!</span></b> ==== |
::<math> a \, \cdot \, 10\,^n \quad\; {\rm kallas\;{\color{Red} {grundpotensform}}\;om\;} n \; {\rm är\;heltal} \quad\; {\rm och} \quad\; 1 \leq a < 10 \; {\rm .}</math> abcdefgh | ::<math> a \, \cdot \, 10\,^n \quad\; {\rm kallas\;{\color{Red} {grundpotensform}}\;om\;} n \; {\rm är\;heltal} \quad\; {\rm och} \quad\; 1 \leq a < 10 \; {\rm .}</math> abcdefgh | ||
Versionen från 15 maj 2016 kl. 14.19
| \( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt | Repetition: Exp. fkt. & logaritmer | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \) |
Lektion 8 Talet \(\,e\) och den naturliga logaritmen
Talet \( e \,\)
Experiment
Ta fram din miniräknare, leta efter följande funktionsknapp och tryck på den:
- \( \boxed{e^{\,x}} \)
Mata in \( 1 \, \) och stäng parentesen. När det står \( \; {\bf e} \) ^ \((1) \; \) i räknarens display, tryck på ENTER. Så får du:
- \( 2,718281828\cdots \)
Du har beräknat \( \; e{\,^1} \; \) eller talet \(\,{\color{blue}e}\,\), en av matematikens mest kända konstanter, Eulers tal.
Talet \(\,{\color{blue} e}\,\) är kallat efter den schweiziske matematikern Leonard Euler som levde på 1700-talet.
Det var han som ställde upp formler för beräkningen av detta märkliga tal. Märkligt, därför att \( \, e \,\) inte ett rationellt tal, dvs det kan inte skrivas som ett bråk (kvot mellan två heltal), precis som talen \( \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\cdots \). Sådana tal kallas irrationella. Anledningen till att de inte kan skrivas som kvoter mellan två heltal är att de har oändligt många decimaler utan något som helst mönster som upprepas (period). Detta kan man själv övertyga sig om genom att beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet\(\;{\color{blue} e}\,\).
OBS!
- \[ a \, \cdot \, 10\,^n \quad\; {\rm kallas\;{\color{Red} {grundpotensform}}\;om\;} n \; {\rm är\;heltal} \quad\; {\rm och} \quad\; 1 \leq a < 10 \; {\rm .}\] abcdefgh
Talet \( e \,\) förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet \( 1\, \), de irrationella talen \( e,\;\pi \) och den s.k. imaginära eneheten \( i\, \):
- \( e^{\,2\,\pi\,i} \) \( = 1 \)
Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna komplexa formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet \( e \,\).
Ytterligare ett tecken på betydelsen av talet \( \, e \,\) är de otaliga natur- och ekonomiska lagar som formuleras med hjälp av den s.k. exponentialfunktionen \( {\color{Red} {y = e{\,^x}}} \) som i sin tur ger upphov till sin invers, den s.k. naturliga logaritmen \( {\color{Red} {y = \ln x}} \), logaritmen med basen \( e \, - \) ett alternativ till \( \, 10\)-logaritmen med basen \( \, 10 \, \) som vi använt i Matte 2.
Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?
Det enklaste sättet att beräkna talet \( e \,\) är att ta fram din räknare och \( - \) precis som det beskrevs inledningsvis \( - \) beräkna funktionen \( e^{\,x} \):s värde för \( x=1 \, \) dvs beräkna \( e^1\, \) . Om man nöjer sig med detta är det o.k. Men om man vill veta hur värdet kommer till, kan man använda en av de formler Euler har bevisat:
- \[ \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to e \quad {\rm när} \quad n \to \infty \]
Det betyder: Uttrycket ovan går mot \( e \,\) när \( n\, \) går mot oändligheten (\( \infty \)). Detta innebär att uttrycket närmar sig allt mer talet \( e \,\) ju större värden \( n\, \) antar. Tabellen nedan visar denna process:
| \( n \) | \( 1\,000 \) | \( 1000\,000 \) | \( 1000\,000\,000 \) | \( 10\,000\,000\,000 \) | \( \to \infty \) |
| \( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \) | \( {\color{Red} {2,71}}6923932\cdots \) | \( {\color{Red} {2,71828}}0469\cdots \) | \( {\color{Red} {2,71828182}}7\cdots \) | \( {\color{Red} {2,718281828}}\cdots \) | \( \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad \) |
|---|
De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde du fick fram i räknaren när du slog in \( e^{\,1} \, \). Så i fortsättningen när vi räknar med talet \( e \,\) nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:
- \( e \; = \; 2,718281828\cdots \)
Repetera dina kunskaper från Matte 2 om exponentialfunktioner.
I repetitionen har vi pratat om exponentialfunktioner, dvs i pluralis, därför att vi där inte hade ct basen. Det beror på vilken bas man väljer, t.ex. \( y = 2\,^x \) eller \( y = 3\,^x,\;\cdots \).
I detta avsnitt väljer vi Eulers tal \( e \,\) som bas och tittar på \( \, y = e\,^x \).
Exponentialfunktionen med basen \( e \,\)
När man pratar om den exponentialfunktionen (i singularis) utan att specificera basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen \( \, e\,\) \(-\) som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
- Exponentialfunktionen med basen \( \; {\color{Red} e} \)
Egenskaper
- Exponentialfunktionen är alltid positiv: \( \, e\,^x \, > \, 0 \, \) för alla \( \, x \). Den blir aldrig \( 0\, \) eller negativ. Definitionsmängden: alla \( x \).
- \( e\,^0 = 1 \) vilket följer av lagen om den nollte potensen.
- För negativa \( \, x \, \) är \( \, e\,^x < 1 \) och växer allt starkare ju större \( \, x \, \) blir.
- Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
Dessa egenskaper menar man när man talar om att en process har exponentiell tillväxt.
Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ \( \, y = e\,^{k \, x} \, \) med \( \, k < 0 \).
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än alla andra tillväxttyper som t.ex. potensfunktioner \( \, y = x^2 \, \) (kvadratisk) eller \( \, y = x^3 \, \) (kubisk) osv. Testa gärna genom att rita graferna till potensfunktionerna \( \, y = x^n \, \) för \( \, n = 1, 2, 3, \ldots \, \) och exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \, \) i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.
Den naturliga logaritmen
Experiment
Ta fram din miniräknare och tryck på funktionsknappen \( \, e^{\,x} \). Mata in:
- \( 2 \)
och stäng parentesen. När det står \( \; {\bf e} \) ^ \((2) \; \) i displayen, tryck på ENTER. Du har beräknat \( \, e^{\,2} \).
Låt resultatet (något decimaltal) stå i displayen. Leta efter följande funktionsknapp och tryck på den:
- \[ {\rm \boxed{LN}} \]
Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall decimaltalet \( e^{\,2} \).
Stäng parentesen och tryck på ENTER så får du tillbaka din \( \, 2\):a som du hade matat in i början.
Du har beräknat \( \, \ln\,(e^{\,2}) \) som ger \( \, 2 \, \):
- \( \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 \)
\( {\rm \boxed{LN}} \) står för Logaritmus Naturalis dvs den naturliga logaritmen som \(-\) enligt experimentet \(-\) är den motsatta (inversa) operationen till \( \, e\,^x \, \).
Precis som alla exponentialfunktioner har sina inversa logaritmfunktioner, har även \( \, y = e\,^x \, \) sin inversa logaritmfunktion som är den naturliga logaritmen.
Dvs den naturliga logaritmen är logaritmen till basen \( \, e \, \). Repetera Logaritmen till basen \( \, 10 \, \).
Precis som \( \, 10\)-logaritmen har förkortningen \( \, \lg \), har den naturliga logaritmen förkortningen \( \, \ln\).
T.ex. är \( \, \ln 3 \, \) det tal (den exponent) som talet \( \, e \, \) måste upphöjas till för att ge \( \, 3 \). Om vi kallar detta tal för \( \, x \, \) kan vi skriva:
- \[ e\,^x \, = \, 3 \]
Lösningen till denna ekvation är:
- \[ x \, = \, \ln 3 \, = \, 1,098612289 \ldots \]
Det sista får man genom att slå in \( {\rm \boxed{LN}} \) följd av \( \, 3 \, \) i miniräknaren. En prövning visar: \( \, e\,^{1,098612289 \ldots} \, = \, 3 \).
Vi ska nu bekanta oss med denna naturliga logaritmfunktion:
- Den naturliga logaritmfunktionen
Egenskaper
- Logaritmen är definierad endast för positiva \( \, x\, \). Definitionsmängden: \( \, x > 0 \).
- \( \ln\,1 = 0 \, \) vilket är logaritmformen till \( \, e\,^0 = 1 \), se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
- För \( x < 1\, \) är logaritmen negativ och för \( x > 1\, \) är den positiv.
- Logaritmen växer allt svagare ju större \( \, x\, \) är.
OBS! Logaritmen är för \( \, x=0 \, \) och för \( \, x<0 \, \) inte definierad.
Båda logaritmerna \( \lg\, \) och \( \ln\, \) \(-\) och endast dessa två \(-\) är inprogrammerade i alla (tekniska) kalkylatorer. Däremot har de i räknaren knapparna LOG som står för \( \, 10\)-logaritmen och LN som står för den naturliga logaritmen.
Inversegenskapen
Den naturliga logaritmen \( \, y \, = \, \ln\,x \, \) är den inversa funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, e\,^x \, \):
- \[ \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( e^{\,x} \) och sedan \( \ln\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \). Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( e^{\,x} \) och \( \ln\,x \) direkt efter varandra.
Både \( \ln\,(e^{\,x}) \) och \( e^{\,\ln\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln: Sammansatta funktioner exekveras (beräknas) inifrån. Ditt eget experiment var ett exempel på detta: Du beräknade först \( e^{\,2} \) och sedan \( \ln\,(e^{\,2}) \).
Exponentialekvationen \( e\,^x \, = \, b \)
Repetera från Matte 2 Logaritmen till basen \( \, 10 \, \) samt exponentialekvationen \( \, 10\,^x \, = \, b \; \).
Fil:Naturliga logaritmen 40.jpg
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM
http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E
http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4
Copyright © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
