1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen
| << Förra avsnitt | Rep.: 10-logaritmer | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
| Rep.: Exponentialfunktioner | Rep.: Logaritmlagarna | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Beräkna följande uttryck på det enklast möjliga sättet. Ange deras värde med 5 decimaler.
a) \( e\,^2 \cdot e\,^{0,5} \)
b) \( \displaystyle{e\,^3 \over e\,^4} \)
c) \( \left(e\,^{\ln\,6}\right)^2 \)
d) \( -5\cdot\ln(e^{-2}) \)
e) \( e\,^{1 \over 3} - (e\,^2)^{1\over 3} \)
Hämtar...
Övning 2
Beräkna \( \, f\,(2) \, \) och ange svaret med 4 decimaler.
a) \( f(x) \, = \, \) \( e\,^{-2\,x} \)
b) \( f(x) \, = \, \) \( 3\,e\,^{0,1\,x} \)
c) \( f(x) \, = \, \) \( {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x} \)
d) \( f(x) \, = \, \) \( \displaystyle{-4\,e\,^{x \over 3}} \)
e) \( f(x) \, = \, \) \( \displaystyle{{e\,^x\,+\,e\,^{-\,x} \over 2}} \)
f) \( f(x) \, = \, \) \( \displaystyle{{e\,^x\,-\,e\,^{-\,x} \over 2}} \)
Övning 3
Skriv följande likheter i logaritmform:
a) \( e\,^0 = 1\, \)
b) \( e\,^x = 100\, \)
c) \( e\,^7 = x\, \)
Tips: Logaritmera båda leden och använd inversegenskapen.
Övning 4
Lös följande ekvationerna. Ange svaret med 6 decimaler:
a) \( e\,^x = 10\, \)
b) \( \ln\,x = 2 \)
c) \( 4\,e\,^{3\,x} = 145\, \)
d) \( \ln\,2\,x = \ln\,10 - \ln\,5 \)
- Repetera Logaritmlagarna.
C-övningar: 5-6
Övning 5
a) Lös följande ekvation exakt:
- \[ \ln\,x \; = \; 1 + \ln\,(x-1) \]
- Repetera Logaritmlagarna.
b) Lös följande ekvation med 4 decimalers noggrannhet:
- \[ e\,^{x+1} \; = \; 4 \cdot e\,^{2\,x} \]
c) Lös följande ekvation exakt:
- \[ \ln\,(x+1) + \ln\,(x-1) = \ln 3 - \ln 4 \]
Övning 6
Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen
- \[ B \; = \; 50\cdot e\,^t \]
där B är antalet bakterier vid tiden \( \, t \) och \( \, t \) är tiden i timmar.
Använd denna modell för att besvara följande frågor:
a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?
b) Hur många bakterier finns det i mjölken efter 8 timmar?
c) Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit 2000 då mjölken anses blivit sur?
A-övningar: 7-8
Övning 7
Temperaturen \( T \) i en glassmet sjunker enligt modellen
- \[ T \; = \; 50\, e\,^{-0,034 \,t} - 35 \]
där \( t \) är tiden i minuter efter att smeten ställs i frysen.
a) Vilken temperatur hade smeten när den ställdes i frysen?
b) Hur lång tid tar det tills smeten frusit och blivit glass. Ange svaret i minuter och sekunder.
Övning 8
Värdet av en företagsbil minskar enligt följande modell:
- \[ y \; = \; 225\,000\;e\,^{-k\,x} \]
där \( y \) är värdet i kr efter \( x \) år och \( k \) en konstant som kan bestämmas med hjälp av följande information:
- Efter 5 år är bilen 100 000 kr värd.
a) Bestäm \( k \) med 6 decimalers noggrannhet för att kunna besvara frågan:
b) Hur länge tar det tills bilens värde har sjunkit under \( 10 \% \) av nyvärdet då den anses kunna avskrivas.
Ange svaret i hela år och hela månader.
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
