Skillnad mellan versioner av "1.4 Talet e och den naturliga logaritmen"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (140 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | __NOTOC__ | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| << Förra avsnitt]]}} | {{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| << Förra avsnitt]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}} |
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar]]}} | ||
| Rad 10: | Rad 11: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}} |
| − | {{Not selected tab|[[Logaritmlagarna| | + | {{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}} |
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Genomgång</span>]]}} | {{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Genomgång</span>]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Övningar</span>]]}} | {{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Övningar</span>]]}} | ||
| Rad 19: | Rad 20: | ||
| − | [[Media: Lektion 9 Talet e Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 9 Talet <math>\,e</math> och den naturliga logaritmen</span></b>]] | + | <!-- [[Media: Lektion 9 Talet e Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 9 Talet <math>\,e</math> och den naturliga logaritmen</span></b>]] --> |
| − | + | ||
== <b><span style="color:#931136">Talet <big><math> e \,</math></big></span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Talet <big><math> e \,</math></big></span></b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | + | <big><b><span style="color:#931136">Experiment 1</span></b></big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här: | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | Tryck på den, mata in <math> 1 \, </math> och stäng parentesen. | + | # Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen)<span style="color:black"></span> <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big> |
| + | # Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen. | ||
| + | # Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> <span style="color:black">''^''</span> <math>(1) \; </math> i räknarens display. | ||
| − | + | Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller <b><span style="color:blue">talet</span></b> <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>, | |
| − | + | en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) <b><span style="color:blue">Eulers tal</span></b>]. | |
</div> | </div> | ||
<big> | <big> | ||
| − | Talet <big><math>\, | + | Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler <b><span style="color:blue">Leonard Euler</span></b>] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal. |
| − | Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se: | + | Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [http://mathonline.se:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal <b><span style="color:blue">olika typer av tal</span></b>]. |
| − | Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett <b><span style="color:red">irrationellt tal</span></b>, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform | + | Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett <b><span style="color:red">irrationellt tal</span></b>, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform. |
| − | Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se: | + | Irrationella tal är decimaltal som har en [http://mathonline.se:1800/index.php/1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling <b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period). |
| − | [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <b><span style="color:blue"> | + | Här kan man beskåda de första <b><span style="color:blue">5 miljoner decimaler av talet</span></b> [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <b><span style="color:blue"><big><math> \, e \, </math></big></span></b>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något. |
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<b><span style="color:#931136">OBS!</span></b> <math> \quad e \; </math> <small> är ingen variabel utan en s.k. <b><span style="color:red">namngiven konstant</span></b> som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</small></div> | <b><span style="color:#931136">OBS!</span></b> <math> \quad e \; </math> <small> är ingen variabel utan en s.k. <b><span style="color:red">namngiven konstant</span></b> som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</small></div> | ||
| − | Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och | + | Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter<span style="color:black">:</span> |
::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big> | ::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big> | ||
| − | Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna | + | Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys <b><span style="color:blue">matematiska analysen</span></b>], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|<b><span style="color:blue">gränsvärden</span></b>]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|<b><span style="color:blue">derivator</span></b>]], [[Matte_3_Kapitel_4_Integraler|<b><span style="color:blue">integraler</span></b>]] och differentialekvationer. |
</big> | </big> | ||
| Rad 64: | Rad 63: | ||
<big> | <big> | ||
| − | + | <b><span style="color:red">Eulers formel</span></b> kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <b><span style="color:blue"><big><math> e \,</math></big></span></b>: | |
| + | <!-- som kommer att bevisas [[2.6_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Eulers_bevis|<b><span style="color:blue">senare</span></b>]], --> | ||
| + | ::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math> | ||
| − | : | + | Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller: |
| − | + | Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process: | |
| − | <div class="border-divblue"> | + | <div class="border-divblue"><small> |
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
| Rad 77: | Rad 78: | ||
! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math> | ! align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math> | ||
|} | |} | ||
| − | </div> | + | </small></div> |
| + | |||
| + | De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>. | ||
| + | |||
| + | <b><span style="color:red">Eulers formel</span></b> ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan). | ||
| − | + | Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler: | |
:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big> | :::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big> | ||
| Rad 91: | Rad 96: | ||
| − | <div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div> | + | <div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div> med grafen: [[Image: exp.jpg]] |
| − | + | ::::::::::::::<b><span style="color:red">Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big></span></b> | |
</big> | </big> | ||
| − | + | <div class="ovnC"> | |
| − | <div class=" | + | |
==== <b><span style="color:#931136">Egenskaper</span></b> ==== | ==== <b><span style="color:#931136">Egenskaper</span></b> ==== | ||
| Rad 114: | Rad 118: | ||
<big> | <big> | ||
| − | Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. | + | Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet. |
| − | I repetitionen [[Exponentialfunktioner | + | I repetitionen [[Repetition: Exponentialfunktioner|<b><span style="color:blue">Exponentialfunktioner</span></b>]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>. |
När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner. | När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner. | ||
| Rad 123: | Rad 127: | ||
== <b><span style="color:#931136">Den naturliga logaritmen</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Den naturliga logaritmen</span></b> == | ||
| + | <div class="ovnC"> | ||
| + | <big><b><span style="color:#931136">Experiment 2</span></b></big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här: | ||
| − | < | + | # Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in<span style="color:black"></span> <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen. |
| − | + | # Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> <span style="color:black">''^''</span> <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen. | |
| − | </big> | + | # Tryck på funktionsknappen<span style="color:black"></span> <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>. |
| + | # Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>. | ||
| + | # Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början. | ||
| − | < | + | Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big> |
| − | + | ||
| − | + | Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big> | |
</div> | </div> | ||
| + | <big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big><b><span style="color:red">ogaritmus</span></b> <big>N</big><b><span style="color:red">aturalis</span></b>, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Repetition: 10-logaritmer|<b><span style="color:blue"><math> \, 10</math>-logaritmer</span></b>]]. | ||
| − | < | + | När man skriver står <b><span style="color:red"><math>\ln</math></span></b> för <b><span style="color:red">l</span>ogaritmus</b> <b><span style="color:red">n</span>aturalis</b> och är symbolen för den naturliga logaritmen. |
| − | + | ||
| + | Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <b><span style="color:red"><math>\ln</math></span></b>. | ||
| + | </big> | ||
| + | |||
| + | <div class="ovnE"> | ||
<big> | <big> | ||
| − | < | + | <b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b> |
| − | : | + | <math>\ln 3 \, </math> = <b><span style="color:red">Exponent</span></b> som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math><span style="color:black">:</span> |
| − | + | <math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math> | |
| − | + | ---- | |
| − | + | I räknaren<span style="color:black">:</span> <small><math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math></small> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math> | |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | |||
<big> | <big> | ||
| − | + | Generellt: | |
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Definition:</span></b> | ||
| − | + | <math>\ln a \, </math> = <b><span style="color:red">Exponenten</span></b> <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math><span style="color:black">:</span> | |
| − | < | + | <math> \qquad\qquad\quad </math> <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big> |
| + | </div> | ||
| − | ::::::::::::::::<b><span style="color:red">Den naturliga logaritmfunktionen</span></b> | + | |
| + | Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den <b><span style="color:red">naturliga logaritmfunktionen</span></b> <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>: | ||
| + | |||
| + | <div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div> med grafen: [[Image: ln.jpg]] | ||
| + | |||
| + | :::::::::::::::<b><span style="color:red">Den naturliga logaritmfunktionen</span></b> | ||
</big> | </big> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnC"> |
==== <b><span style="color:#931136">Egenskaper</span></b> ==== | ==== <b><span style="color:#931136">Egenskaper</span></b> ==== | ||
| Rad 171: | Rad 190: | ||
</div> | </div> | ||
| − | <b><span style="color:red">OBS! Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad.</span></b> | + | <b><span style="color:red">OBS! Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.</span></b> |
| − | + | ||
</div> | </div> | ||
| − | + | <big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden. | |
| − | + | Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big> | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Inversegenskapen</span></b> == | ||
<big> | <big> | ||
| − | <b><span style="color:#931136">Experiment 2</span></b> visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>. | + | <b><span style="color:#931136">Experiment 2</span></b> visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>. |
| − | + | ||
| + | Generellt: | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>: | + | Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math><span style="color:black">:</span> |
:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math> | :::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math> | ||
| Rad 226: | Rad 226: | ||
| − | == <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationen | + | == <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math></span></b> == |
<big> | <big> | ||
| − | Precis som [[ | + | Precis som [[Repetition:_10-logaritmer#Exponentialekvationer_av_typ_.5C.28_.5C.3B_10.5C.2C.5Ex_.5C.2C_.3D_.5C.2C_b_.5C.29|<b><span style="color:blue">exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math></span></b>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen. |
</big> | </big> | ||
| Rad 237: | Rad 237: | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| − | <math>\begin{array}{rcll} | + | <math>\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\ |
| − | + | {\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\ | |
| − | + | x & = & \ln\,68 & \\ | |
| − | + | x & = & 4,219507705\ldots & \\ | |
| − | {\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 & | + | {\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 & |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
</div></div> | </div></div> | ||
| Rad 267: | Rad 267: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 6 maj 2019 kl. 18.04
| << Förra avsnitt | Rep.: 10-logaritmer | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
| Rep.: Exponentialfunktioner | Rep.: Logaritmlagarna | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Talet \( e \,\)
Experiment 1 \( \qquad \) Ta fram din miniräknare och gör så här:
- Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) \( \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; \)
- Tryck på den, mata in \( \, 1 \, \) och stäng parentesen.
- Tryck på ENTER när det står \( \, e \) ^ \((1) \; \) i räknarens display.
Du har beräknat \( \; e{\,^1} \; \) eller talet \( \, \color{blue} e \,\), dvs \( \qquad 2,718281828\ldots \quad \),
en av matematikens mest kända konstanter, även kallad Eulers tal.
Talet \( \, \color{blue} e \, \) är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern Leonard Euler som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.
Märkligt, därför att \( \, e \, \) inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se olika typer av tal.
Talet \( \, e \, \) är ett irrationellt tal, precis som talen \( \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, \), som inte kan skrivas i bråkform.
Irrationella tal är decimaltal som har en icke-periodisk decimalutveckling dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).
Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet \( \, e \, \). Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.
OBS! \( \quad e \; \) är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet \( \, 2,718281828\ldots \, \).
Talet \( \, e \, \) förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet \( 1\, \), de irrationella talen \( e,\;\pi \) och den imaginära enheten \( \, i = \sqrt{-1} \), där även \( \pi \) och \( \, i \, \) är namngivna konstanter:
- \( e^{\,2\,\pi\,i} \) \( = 1 \)
Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet \( \, e \, \) inom den matematiska analysen, den delen av matematiken som behandlar gränsvärden, derivator, integraler och differentialekvationer.
Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?
Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet \( e \,\):
- \( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e \) \( \quad {\rm när} \quad n \to \infty \)
Dvs: Uttrycket ovan går mot \( e \,\) när \( n\, \) går mot oändligheten (\( \infty \)) eller:
Uttrycket närmar sig allt mer \( \, e \,\) ju större \( \, n\, \) blir. Tabellen tar några steg i denna process:
| \( n \) | \( 1\,000 \) | \( 1000\,000 \) | \( 1000\,000\,000 \) | \( 10\,000\,000\,000 \) | \( \to \infty \) |
| \( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \) | \( {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots \) | \( {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots \) | \( {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots \) | \( {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \) | \( \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad \) |
|---|
De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in \( e^{\,1} \, \).
Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen \( \, n \, \) närma oss det irrationella talet \( \, e \, \) (tabellen ovan).
Så i fortsättningen när vi räknar med talet \( e \,\) nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:
- \( e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \)
Exponentialfunktionen med basen \( e \,\)
Tar man talet \( {\color{Red} e} \) som bas och bildar potensen \( {\color{Red} {e{\,^x}}} \) får man den s.k. exponentialfunktionen \( {\color{Red} {y = e{\,^x}}} \) med basen \( {\color{Red} e} \, \) som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:
\( y \; = \; e\,^x \)
med grafen: 
- Exponentialfunktionen med basen \( \; {\color{Red} e} \)
Egenskaper
- Exponentialfunktionen är alltid positiv: \( \, e\,^x \, > \, 0 \, \) för alla \( \, x \). Den blir aldrig \( 0\, \) eller negativ. Definitionsmängden: alla \( x \).
- \( e\,^0 = 1 \) vilket följer av potenslagen om nollte potens.
- För negativa \( \, x \, \) är \( \, e\,^x < 1 \). För positiva \( \, x \, \) är \( \, e\,^x > 1 \) och växer allt starkare ju större \( \, x \, \) blir.
- Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ \( \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, \) med \( \, k \, {\color{Red} >} \, 0 \).
Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ \( \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, \) med \( \, k \, {\color{Red} <} \, 0 \).
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen \( \, y = x^2 \, \) som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till \( \, y = x^2 \, \) och \( \, y = e\,^x \, \) i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.
I repetitionen Exponentialfunktioner hade vi pratat om exponentialfunktioner (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. \( y = 2\,^x \) eller \( y = 3\,^x,\;\cdots \).
När man däremot pratar om den exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen \( \, e\,\) \(-\) som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.
Den naturliga logaritmen
Experiment 2 \( \qquad \) Ta fram din miniräknare och gör så här:
- Tryck på funktionsknappen \( \, \boxed{e^{\,x}} \) och mata in \( \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad \) och stäng parentesen.
- Tryck på ENTER när det står \( \, e \) ^ \((2) \; \) i displayen. Låt resultatet \( \, e^{\,2} \, \) (något decimaltal) stå i displayen.
- Tryck på funktionsknappen \( \, \boxed{\rm{LN}} \, \).
- Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall \( \, e^{\,2} \).
- Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad \) som du hade matat in i början.
Du har beräknat \( \, \ln\,(e^{\,2}) \) som ger \( \, 2 \, \), dvs: \( \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 \)
Genomför ett liknande experiment som visar: \( \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, \)
I räknaren står \( \boxed{\rm{LN}} \) för Logaritmus Naturalis, den naturliga logaritmen, medan \( \boxed{\rm{LOG}} \) står för \( \, 10\)-logaritmer.
När man skriver står \(\ln\) för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.
Talet \( \, e \, \) bildar basen till \(\ln\).
Exempel:
\(\ln 3 \, \) = Exponent som basen \( \, e \, \) ska upphöjas till, för att ge \( \, 3 \, \):
\( \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 \)
I räknaren: \( \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}\) \((3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} \)
Generellt:
Definition:
\(\ln a \, \) = Exponenten \( \color{Red} x \) som basen \( \, e \, \) ska upphöjas till, för att ge \( \, a \, \):
\( \qquad\qquad\quad \) \( e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a \)
Exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \, \) ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen \( \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, \):
\( y \; = \; \ln\, x \)
med grafen: 
- Den naturliga logaritmfunktionen
Egenskaper
- Logaritmen är definierad endast för positiva \( \, x\, \). Definitionsmängden: \( \, x > 0 \).
- \( \ln\,1 = 0 \, \) vilket är logaritmformen till \( \, e\,^0 = 1 \), se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
- För \( x < 1\, \) är logaritmen negativ och för \( x > 1\, \) är den positiv.
- Logaritmen växer allt svagare ju större \( \, x\, \) är.
OBS! Logaritmen är för \( \, x=0 \, \) inte alls och för \( \, x<0 \, \) inte definierad inom de reella talen.
För \( \, x < 0 \, \) har \( \, y \, = \, \ln x \, \) komplexa värden.
Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.
Inversegenskapen
Experiment 2 visar ett exempel på att \( \, \boxed{\rm{LN}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \boxed{e\,^x} \, \).
Generellt:
Den naturliga logaritmen \( \, y \, = \, \ln\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, e\,^x \, \):
- \[ \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( e^{\,x} \) och sedan \( \ln\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).
Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( e^{\,x} \) och \( \ln\,x \) direkt efter varandra.
Både \( \ln\,(e^{\,x}) \) och \( e^{\,\ln\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:
Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experiment 2 var ett exempel på detta. För att få \( \, \ln\,(e^{\,2}) \, \), beräknades först \( \, e^{\,2} \) och sedan \( \, \ln\,(e^{\,2}) \).
Exponentialekvationen av typ \( \; e\,^x \, = \, b \)
Precis som exponentialekvationen \( \, 10\,^x \, = \, b \; \) löstes med den inversa operationen till \( \, 10\,^x \), nämligen \( \, 10\)-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till \( \, e\,^x \), nämligen den naturliga logaritmen.
Exempel
\(\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\ {\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\ x & = & \ln\,68 & \\ x & = & 4,219507705\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 & \end{array}\)
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM
http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E
http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
