Skillnad mellan versioner av "2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet"

Marie startar kl 10:30 med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl 15:15. Avståndet mellan Stockholm och Göteborg är 478 km. Vad är hennes genomsnittliga hastighet?

Beräkna följande funktioners värde för \( x = 2\, \). Ange svaret med 4 decimaler.

a) \( f(x) \; = \; e\,^{-2\,x} \)

b) \( f(x) \; = \; 3\,e\,^{0,1\,x} \)

c) \( f(x) \; = \; {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x} \)

Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen:

a) \( y = 5\,x + 23 \) i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 3 \)

b) \( y = -3\,x^2 + 2\,x - 12 \) i intervallet \( -2 \leq x \,\leq\, 2 \)

c) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -1 \leq x \,\leq\, 1 \)

Lös följande ekvationerna. Ange svaret med 6 decimaler:

a) \( e\,^x = 10\, \)

b) \( \ln\,x = 2 \)

c) \( 4\,e\,^{3\,x} = 145\, \)

d) \( \ln\,2\,x = \ln\,10 - \ln\,5 \)

a) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,x \; = \; 1 + \ln\,(x-1) \]

b) Lös följande ekvation med 4 decimalers noggrannhet:

\[ e\,^{x+1} \; = \; 4 \cdot e\,^{2\,x} \]

c) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,(x+1) + \ln\,(x-1) = \ln 3 - \ln 4 \]

Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen

\[ B \; = \; 50\cdot e\,^t \]

där B är antalet bakterier vid tiden och t är tiden i timmar.

Använd modellen för att besvara följande frågor:

a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?

b) Hur många bakterier finns det i mjölken efter 8 timmar?

c) Efter hur många timmar har antalet bakterier nått 2000 då den anses blivit sur?

Temperaturen T i en glassmet sjunker enligt modellen

\[ T \; = \; 50\cdot e\,^{-0,034 \,t} - 35 \]

där t är tiden i minuter efter att smeten ställs i frysen.

a) Vilken temperatur hade smeten när den ställdes i frysen?

b) Hur lång tid tar det tills smeten frusit och blivit glass.

Värdet av en företagsbil minskar enligt följande modell:

\[ y \; = \; 225\,000\;e\,^{-k\,x} \]

där y är värdet i kr, x bilens ålder i år och k en konstant.

a) Bestäm k med 6 decimalers noggrannhet så att värdet är 100 000 kr efter 5 år.

Använd resultatet från a) för att besvara följande frågor:

b) Hur länge tar det tills bilens värde har sjunkit till 10% av nyvärdet då den anses kunna avskrivas.

c) Hur länge tar det tills bilens värde är 0?