Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:

\( x\, \)	\( f(x)\, \)
\( 0,5\, \)	\( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \)	\( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \)	\( 2,32751\, \)

Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:

a) framåtdifferenskvoten

b) bakåtdifferenskvoten

c) centrala differenskvoten

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.

Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) dvs funktionens derivata i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten och steglängden

a) \( h = 0,1\, \)

b) \( h = 0,01\, \)

c) \( h = 0,001\, \)

I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.

Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).

a) Ange felet till det närmevärde som beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).

Approximera \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och

b) bakåtdifferenskvoten. Ange felet.

c) centrala differenskvoten. Ange felet.

d) Vilken differenskvot approximerar funktionens derivata \( f\,'(1,8) \) bäst?

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 enligt följande tabell:

År	Folkmängd i tusental
\( 1900\, \)	\( 5\,130 \)
\( 1910\, \)	\( 5\,406 \)
\( 1920\, \)	\( 5\,832 \)
\( 1930\, \)	\( 6\,298 \)
\( 1940\, \)	\( 6\,645 \)
\( 1950\, \)	\( 7\,016 \)
\( 1960\, \)	\( 7\,495 \)
\( 1970\, \)	\( 8\,126 \)
\( 1980\, \)	\( 8\,217 \)
\( 1990\, \)	\( 8\,654 \)
\( 2000\, \)	\( 8\,983 \)

a) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.

b) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.

c) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.

d) Är följande påstående sant eller falskt?

"Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.

Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."

Motivera ditt svar.