Skillnad mellan versioner av "3.3 Övningar till Terasspunkter"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(10 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|<math> \pmb{\gets} </math> Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Övningar till Terasspunkter|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Övningar till Terasspunkter|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Nästa avsnitt <math> \pmb{\to} </math>]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 16: Rad 16:
  
  
 +
== <b>Övning 1</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> ==
 
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
Rad 39: Rad 39:
  
  
 +
== <b>Övning 2</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> ==
 
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
Rad 62: Rad 62:
  
  
 +
== <b>Övning 3</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> ==
 
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
Rad 72: Rad 72:
 
b) &nbsp; Funktionens graf visar en [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<b><span style="color:blue">kritisk punkt</span></b>]]. Var finns den och vilken karaktär har den?
 
b) &nbsp; Funktionens graf visar en [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<b><span style="color:blue">kritisk punkt</span></b>]]. Var finns den och vilken karaktär har den?
  
−
c) &nbsp; Kan man med [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<strong><span style="color:blue">derivator</span></strong>]] algebraiskt bestämma den kritiska punktens karaktär? Om ja, gör det. Om nej, varför inte?
+
c) &nbsp; Kan man med [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<b><span style="color:blue">derivator</span></b>]] algebraiskt bestämma den kritiska punktens karaktär? Om ja, gör det. Om nej, varför inte?
  
 
d) &nbsp; Avgör algebraiskt med en [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]] vilken karaktär funktionens kritiska punkt har.
 
d) &nbsp; Avgör algebraiskt med en [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]] vilken karaktär funktionens kritiska punkt har.
Rad 79: Rad 79:
  
  
 +
== <b>Övning 4</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> ==
 
 
Undersök om och var följande funktion har eventuella maxima, minima eller terasspunkter:
 
Undersök om och var följande funktion har eventuella maxima, minima eller terasspunkter:
  
Rad 109: Rad 109:
  
  
 +
== <b>Övning 5</b> ==
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
 
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
−
Undersök om och var följande funktion har [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritiska punkter</span></strong>]]:
+
Undersök om och var följande funktion har [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<b><span style="color:blue">kritiska punkter</span></b>]]:
  
 
::<math> f(x) \, = \, 3\,x^4 + 4\,x^3 </math>
 
::<math> f(x) \, = \, 3\,x^4 + 4\,x^3 </math>
Rad 121: Rad 122:
  
  
 +
== <b>Övning 6</b> ==
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
 
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
Rad 144: Rad 145:
  
  
 +
== <b>Övning 7</b> ==
 
<div class="ovnA">
 
<div class="ovnA">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> ==
+
Följande funktion med en obestämd konstant <math> \, c \, > \, 0 \, </math> är given:
−
Följande funktion med en obestämd konstant <math> \, a \, </math> är given:
+
  
−
:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, x^3 \, + \, a\,x^2 + 3\,a\,x </math>
+
:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, x^3 \, + \, c\,x^2 + 3\,c\,x </math>
  
−
För ett visst värde på <math> \, a \, </math> har funktionen en terasspunkt.
+
a) &nbsp; För ett visst värde på <math> \, c \, </math> har funktionen en terasspunkt. Bestäm detta värde på <math> \, c </math>.
  
−
a) &nbsp; Bestäm detta värde på <math> \, a </math>. Ange terasspunktens koordinater.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ange terasspunktens koordinater.
  
−
b) &nbsp; Rita och kommentera funktionens och derivatans grafer med detta värde på <math> \, a \, </math> i två olika koordinatsystem.
+
b) &nbsp; Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem. 
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Använd samma värde på <math> \, c \, </math> du fick i a). Tolka graferna.
  
 
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.3 Svar 9a|Lösning 7a|3.3 Lösning 9a|Lösning 7b|3.3 Lösning 9b}}</div>
 
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.3 Svar 9a|Lösning 7a|3.3 Lösning 9a|Lösning 7b|3.3 Lösning 9b}}</div>
  
  
 +
== <b>Övning 8</b> ==
 
<div class="ovnA">
 
<div class="ovnA">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> ==
 
 
Undersök följande funktion:
 
Undersök följande funktion:
  
Rad 167: Rad 170:
 
a) &nbsp; Bestäm funktionens alla kritiska punkter, deras karaktär och koordinater.
 
a) &nbsp; Bestäm funktionens alla kritiska punkter, deras karaktär och koordinater.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">digital beräkning av nollställen</span></strong>]].
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<b><span style="color:blue">digital beräkning av nollställen</span></b>]].
  
 
b) &nbsp; Har <math> f(x) </math> även några inflexionspunkter? I så fall ange deras koordinater.
 
b) &nbsp; Har <math> f(x) </math> även några inflexionspunkter? I så fall ange deras koordinater.
Rad 176: Rad 179:
  
  
 +
== <b>Övning 9</b> ==
 
<div class="ovnA">
 
<div class="ovnA">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 9</span></b> ==
 
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
Rad 186: Rad 189:
 
b) &nbsp; Bestäm funktionens alla kritiska punkter och inflexionspunkter.
 
b) &nbsp; Bestäm funktionens alla kritiska punkter och inflexionspunkter.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">digital beräkning av nollställen</span></strong>]].
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<b><span style="color:blue">digital beräkning av nollställen</span></b>]].
  
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Bestäm kritiska punkternas karaktär. Ange alla punkters koordinater.  
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Bestäm kritiska punkternas karaktär. Ange alla punkters koordinater.  
Rad 200: Rad 203:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2019 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 17 januari 2019 kl. 12.34

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.


E-övningar: 1-4


Övning 1

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, - x^3 \, + \, 1 \]

a)   Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställe.

b)   Vilket tecken har derivatan till vänster om sitt nollställe?

c)   Vilket tecken har derivatan till höger om sitt nollställe?

d)   Har funktionen i derivatans nollställe en extrempunkt eller en terasspunkt? Motivera.

e)   Sammanfatta dina resultat från a)-d) i en teckentabell.

f)   Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

     Beskriv hur graferna bekräftar dina resultat.

Svar 1a
3.3 Svar 1a
Lösning 1a
3.3 Lösning 1a
Svar 1b
3.3 Svar 1b
Lösning 1b
3.3 Lösning 1b
Svar 1c
3.3 Svar 1c
Lösning 1c
3.3 Lösning 1c
Svar 1d
3.3 Svar 1d
Lösning 1d
3.3 Lösning 1d
Svar 1e
3.3 Svar 1e
Lösning 1f
3.3 Lösning 1f


Övning 2

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, 2\,x^3 \, - \, 5 \]

a)   Derivera funktionen tre gånger.

b)   Bestäm derivatans nollställe.

c)   Vilket värde har andraderivatan i derivatans nollställe?

d)   Vilket värde har tredjederivatan i derivatans nollställe?

e)   Har funktionen i derivatans nollställe en terasspunkt? Motivera. Om ja, ange terasspunktens koordinater.

f)   Kontrollera dina resultat från grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

     Om du hittat en terasspunkt markera den i funktionens graf samt derivatans nollställe i derivatans graf.

Svar 2a
3.3 Svar 2a
Svar 2b
3.3 Svar 2b
Lösning 2b
3.3 Lösning 2b
Svar 2c
3.3 Svar 2c
Lösning 2c
3.3 Lösning 2c
Svar 2d
3.3 Svar 2d
Lösning 2d
3.3 Lösning 2d
Svar 2e
3.3 Svar 2e
Lösning 2e
3.3 Lösning 2e
Lösning 2f
3.3 Lösning 2f


Övning 3

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, x^4 \]

a)   Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

b)   Funktionens graf visar en kritisk punkt. Var finns den och vilken karaktär har den?

c)   Kan man med derivator algebraiskt bestämma den kritiska punktens karaktär? Om ja, gör det. Om nej, varför inte?

d)   Avgör algebraiskt med en teckenstudie vilken karaktär funktionens kritiska punkt har.

Lösning 3a
3.3 Lösning 3a
Svar 3b
3.3 Svar 3b
Svar 3c
3.3 Svar 3c
Lösning 3c
3.3 Lösning 3c
Svar 3d
3.3 Svar 3d
Lösning 3d
3.3 Lösning 3d


Övning 4

Undersök om och var följande funktion har eventuella maxima, minima eller terasspunkter:

\[ f(x) \, = \, 2\,x^3 - 6\,x^2 + 6\,x \]

Gå igenom följande steg för att lösa uppgiften:

a)   Derivera funktionen tre gånger.

b)   Bestäm derivatans nollställen.

c)   Bestäm andraderivatans värde i derivatans nollställen.

d)   Bestäm tredjederivatans värde i derivatans nollställen.

e)   Avgör om derivatans nollställen är funktionens maxima, minima eller terasspunkter och ange deras koordinater.

f)   Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

     Markera de eventuella maxima, minima eller terasspunkter du hittat i funktionens graf samt derivatans nollställen i derivatans graf.

Svar 4a
3.3 Svar 4a
Svar 4b
3.3 Svar 4b
Lösning 4b
3.3 Lösning 4b
Svar 4c
3.3 Svar 4c
Lösning 4c
3.3 Lösning 4c
Svar 4d
3.3 Svar 4d
Lösning 4d
3.3 Lösning 4d
Svar 4e
3.3 Svar 4e
Lösning 4e
3.3 Lösning 4e
Lösning 4f
3.3 Lösning 4f



C-övningar: 5-6


Övning 5

Övning 5

Undersök om och var följande funktion har kritiska punkter:

\[ f(x) \, = \, 3\,x^4 + 4\,x^3 \]

a)   Bestäm kritiska punkternas koordinater och ange deras karaktär.

b)   Kontrollera dina resultat grafiskt. Kommentera kontrollen.

Svar 5a
3.3 Svar 5a
Lösning 5a
3.3 Lösning 5a
Lösning 5b
3.3 Lösning 5b


Övning 6

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, - x^4 - 4\,x^3 \]

a)   Hitta funktionens alla kritiska punkter och ange deras karaktär.

b)   Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

      Besvara följande frågor med hjälp av graferna:

      Är något av derivatans nollställen en dubbelrot? Om ja, vilket av dem?

      Vilken slutsats kan man dra av dubbelroten om den kritiska punktens karaktär?

Svar 6a
3.3 Svar 6a
Lösning 6a
3.3 Lösning 6a
Lösning 6b
3.3 Lösning 6b



A-övningar: 7-8


Övning 7

Följande funktion med en obestämd konstant \( \, c \, > \, 0 \, \) är given:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, x^3 \, + \, c\,x^2 + 3\,c\,x \]

a)   För ett visst värde på \( \, c \, \) har funktionen en terasspunkt. Bestäm detta värde på \( \, c \).

      Ange terasspunktens koordinater.

b)   Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

      Använd samma värde på \( \, c \, \) du fick i a). Tolka graferna.

Svar 7a
3.3 Svar 9a
Lösning 7a
3.3 Lösning 9a
Lösning 7b
3.3 Lösning 9b


Övning 8

Undersök följande funktion:

\[ y \, = \, f(x) = 2\,x^5 - 5\,x^4 - 10\,x^3 + 20\,x^2 + 40\,x + 23 \]

a)   Bestäm funktionens alla kritiska punkter, deras karaktär och koordinater.

      För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se digital beräkning av nollställen.

b)   Har \( f(x) \) även några inflexionspunkter? I så fall ange deras koordinater.

c)   Visualisera dina resultat.

Svar 8a
3.3 Svar 7a
Lösning 8a
3.3 Lösning 7a
Svar 8b
3.3 Svar 7b
Lösning 8b
3.3 Lösning 7b
Lösning 8c
3.3 Lösning 7c


Övning 9

Följande funktion är given:

\[ y \, = \, f(x) = (x - 2)^3 \, (x + 2) + 7 \]

a)   Utveckla funktionsuttrycket så att du kan derivera. Ange derivatan \( f\,'(x) \).

b)   Bestäm funktionens alla kritiska punkter och inflexionspunkter.

      För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se digital beräkning av nollställen.

      Bestäm kritiska punkternas karaktär. Ange alla punkters koordinater.

c)   Visualisera dina resultat.

Svar 9a
3.3 Svar 8a
Lösning 9a
3.3 Lösning 8a
Svar 9b
3.3 Svar 8b
Lösning 9b
3.3 Lösning 8b
Lösning 9c
3.3 Lösning 8c




Copyright © 2011-2019 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.3_Övningar_till_Terasspunkter&oldid=36164"