Skillnad mellan versioner av "Repetition: Exponentialfunktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Created page with "{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Selected tab|Teori}} {{...")
 
m
 
(217 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.6 Logaritmer|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Logaritmer|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång Talet e & ln]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar Talet e & ln]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Genomgång</span>]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Övningar</span>]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|<span style="color:white">Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> </span>]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 10 Logaritmer.pdf|Lektion 10 Logaritmer]]
+
<big>
 +
Detta är ett repeterande underavsnitt i Matte 3-kursens avsnitt [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]].
  
−
== Exponentialfunktioner & exponentialekvationer ==
+
Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel <math> \, x \, </math> i exponenten.
  
−
Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>.
 
  
−
Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 \cdot</math> <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;">[[Image: Exponentialfkt_600.jpg]]</div>
−
::::<math> a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
−
För negativa heltalexponenter kan potensen <math> a^{-x}\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 /\,</math> <span style="color:red">upprepad division</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
−
::::<math> a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
−
Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 och ersätter man i uttrycket ovan divisionerna med "bråket" <math> {a \over 1} </math> (enligt regel) med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket <math> {1 \over a} </math>, kan man skriva om definitionen ovan så här:
+
−
::::<math> a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Vi får formeln för potenser med negativa heltalexponenter:
+
−
::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
+
−
::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
+
  
−
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
 
  
−
::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math>
+
::<b>Om log se nästa avsnitt: [[Repetition: 10-logaritmer|<span style="color:blue">10-logaritmer</span>]].</b>
 +
</big>
  
−
::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math>
 
  
−
----
+
== <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer</span></b> ==
  
−
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
+
<big>
 +
Själva operationen <math> a\,^x\, </math> dvs att <b><span style="color:red">ta <math> a </math> upphöjt till <math> x </math></span></b> kallas för <b><span style="color:red">exponentiering</span></b> och är en ny räkneoperation.
  
−
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
+
Anta att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> \, b\, </math> och <math> \, c \, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
+
Exponentialfunktioner av typ <math> \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, </math> ger upphov till en ny typ av ekvationer:
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
+
<div class="border-divblue">Ekvationer av typ <math> \, a\,^{\color{Red} x} = b \, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialekvationer</span></b></div><math> \quad </math>, i exemplet ovan<span style="color:black">:</span> <math> \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, </math>.
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
+
I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten <math> \, {\color{Red} x}\, </math> i <b><span style="color:red">exponenten</span></b>.
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
+
<div class="border-divblue">Exponentialekvationer löses genom <b><span style="color:red">logaritmering</span></b><br><br>som är exponentieringens inversa operation.</div>
  
−
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
Se de kommande avsnitten: [[Repetition: 10-logaritmer|<b><span style="color:blue">10-logaritmer</span></b>]] och [[Repetition: Logaritmlagarna|<b><span style="color:blue">Logaritmlagarna</span></b>]].
  
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i [[Potenser#Potensekvationer|<b><span style="color:blue">potensekvationer</span></b>]] av typ <math> \, x\,^a\, = b \, </math> obekanten <math> \, x \, </math> i basen.
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
+
−
                                  x  & = 2                              \\
+
−
                  \end{align}</math>
+
−
Alternativt (med bråktal som exponent):
+
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
+
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
+
−
                                  x  & = 2                              \\
+
−
                  \end{align}</math>
+
  
−
Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
+
För deras lösning används en annan operation:
  
−
== Logaritmbegreppet ==
+
<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom rotdragning.</div>
 +
</big>
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
 
  
−
[[Image: Potenslagarna_70a.jpg]] [[Image: Potens_Ex_60.jpg]]
 
  
−
'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
 
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
 
  
−
'''Bevis''':
 
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
== Internetlänkar ==
 +
http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
+
http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html
  
−
----
+
http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html
  
−
'''Påstående (Nollte potens)''':
+
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
 
  
−
'''Bevis''':
 
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
 
−
 
−
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
 
−
 
−
----
 
−
 
−
'''Påstående (Rationell exponent)''':
 
−
 
−
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
 
−
 
−
'''Bevisidé''':
 
−
 
−
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
 
−
 
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
 
−
 
−
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
 
−
 
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
 
−
 
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
 
−
 
−
== Blandade exempel ==
 
−
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
 
−
 
−
----
 
−
 
−
[[Image: Potens_Ex_2.jpg]]
 
−
 
−
----
 
−
 
−
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
 
−
 
−
== Internetlänkar ==
 
−
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
 
  
−
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 21 september 2017 kl. 17.49

        <<  Förra avsnitt          Rep.: 10-logaritmer          Genomgång Talet e & ln          Övningar Talet e & ln          Nästa avsnitt  >>      
       Rep.: Exponentialfunktioner          Rep.: Logaritmlagarna          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Detta är ett repeterande underavsnitt i Matte 3-kursens avsnitt Talet e och den naturliga logaritmen.

Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel \( \, x \, \) i exponenten.


Exponentialfkt 600.jpg


Om log se nästa avsnitt: 10-logaritmer.


Exponentialekvationer

Själva operationen \( a\,^x\, \) dvs att ta \( a \) upphöjt till \( x \) kallas för exponentiering och är en ny räkneoperation.

Anta att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( \, b\, \) och \( \, c \, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Exponentialfunktioner av typ \( \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, \) ger upphov till en ny typ av ekvationer:

Ekvationer av typ \( \, a\,^{\color{Red} x} = b \, \) kallas för exponentialekvationer
\( \quad \), i exemplet ovan: \( \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, \).

I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten \( \, {\color{Red} x}\, \) i exponenten.

Exponentialekvationer löses genom logaritmering

som är exponentieringens inversa operation.

Se de kommande avsnitten: 10-logaritmer och Logaritmlagarna.

Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i potensekvationer av typ \( \, x\,^a\, = b \, \) obekanten \( \, x \, \) i basen.

För deras lösning används en annan operation:

Potensekvationer löses genom rotdragning.




Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer





Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Repetition:_Exponentialfunktioner&oldid=34221"