Skillnad mellan versioner av "Repetition: Exponentialfunktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(→‎Exponentialfunktioner & exponentialekvationer)
m
 
(216 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.6 Logaritmer|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Logaritmer|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång Talet e & ln]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar Talet e & ln]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Genomgång</span>]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Övningar</span>]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|<span style="color:white">Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> </span>]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 10 Logaritmer.pdf|Lektion 10 Logaritmer]]
+
<big>
 +
Detta är ett repeterande underavsnitt i Matte 3-kursens avsnitt [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]].
  
−
== Exponentialfunktioner & exponentialekvationer ==
+
Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel <math> \, x \, </math> i exponenten.
  
−
[[Image: Exponentialfunktioner.jpg]]
 
  
−
== Logaritmbegreppet ==
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;">[[Image: Exponentialfkt_600.jpg]]</div>
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
 
  
−
[[Image: Potenslagarna_70a.jpg]] [[Image: Potens_Ex_60.jpg]]
+
::<b>Om log se nästa avsnitt: [[Repetition: 10-logaritmer|<span style="color:blue">10-logaritmer</span>]].</b>
 +
</big>
  
−
'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
 
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer</span></b> ==
  
−
'''Bevis''':
+
<big>
 +
Själva operationen <math> a\,^x\, </math> dvs att <b><span style="color:red">ta <math> a </math> upphöjt till <math> x </math></span></b> kallas för <b><span style="color:red">exponentiering</span></b> och är en ny räkneoperation.
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
Anta att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> \, b\, </math> och <math> \, c \, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . 
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
+
Exponentialfunktioner av typ <math> \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, </math> ger upphov till en ny typ av ekvationer:
  
−
----
+
<div class="border-divblue">Ekvationer av typ <math> \, a\,^{\color{Red} x} = b \, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialekvationer</span></b></div><math> \quad </math>, i exemplet ovan<span style="color:black">:</span> <math> \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, </math>.
  
−
'''Påstående (Nollte potens)''':
+
I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten <math> \, {\color{Red} x}\, </math> i <b><span style="color:red">exponenten</span></b>.
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
+
<div class="border-divblue">Exponentialekvationer löses genom <b><span style="color:red">logaritmering</span></b><br><br>som är exponentieringens inversa operation.</div>
  
−
'''Bevis''':
+
Se de kommande avsnitten: [[Repetition: 10-logaritmer|<b><span style="color:blue">10-logaritmer</span></b>]] och [[Repetition: Logaritmlagarna|<b><span style="color:blue">Logaritmlagarna</span></b>]].
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
+
Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i [[Potenser#Potensekvationer|<b><span style="color:blue">potensekvationer</span></b>]] av typ <math> \, x\,^a\, = b \, </math> obekanten <math> \, x \, </math> i basen.
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
+
För deras lösning används en annan operation:
  
−
----
+
<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom rotdragning.</div>
 +
</big>
  
−
'''Påstående (Rationell exponent)''':
 
  
−
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
 
  
−
'''Bevisidé''':
 
  
−
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
 
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
 
  
−
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
+
== Internetlänkar ==
 +
http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
+
http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html
  
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
+
http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html
  
−
== Blandade exempel ==
+
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
−
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
+
  
−
----
 
  
−
[[Image: Potens_Ex_2.jpg]]
 
  
−
----
 
−
 
−
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
 
−
 
−
== Internetlänkar ==
 
−
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
 
  
−
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 21 september 2017 kl. 17.49

        <<  Förra avsnitt          Rep.: 10-logaritmer          Genomgång Talet e & ln          Övningar Talet e & ln          Nästa avsnitt  >>      
       Rep.: Exponentialfunktioner          Rep.: Logaritmlagarna          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Detta är ett repeterande underavsnitt i Matte 3-kursens avsnitt Talet e och den naturliga logaritmen.

Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel \( \, x \, \) i exponenten.


Exponentialfkt 600.jpg


Om log se nästa avsnitt: 10-logaritmer.


Exponentialekvationer

Själva operationen \( a\,^x\, \) dvs att ta \( a \) upphöjt till \( x \) kallas för exponentiering och är en ny räkneoperation.

Anta att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( \, b\, \) och \( \, c \, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Exponentialfunktioner av typ \( \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, \) ger upphov till en ny typ av ekvationer:

Ekvationer av typ \( \, a\,^{\color{Red} x} = b \, \) kallas för exponentialekvationer
\( \quad \), i exemplet ovan: \( \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, \).

I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten \( \, {\color{Red} x}\, \) i exponenten.

Exponentialekvationer löses genom logaritmering

som är exponentieringens inversa operation.

Se de kommande avsnitten: 10-logaritmer och Logaritmlagarna.

Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i potensekvationer av typ \( \, x\,^a\, = b \, \) obekanten \( \, x \, \) i basen.

För deras lösning används en annan operation:

Potensekvationer löses genom rotdragning.




Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer





Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Repetition:_Exponentialfunktioner&oldid=34221"