Skillnad mellan versioner av "Övningar till Logaritmlagarna"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Created page with "__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Not selected tab|[[1.7 Logaritml...")
 
m
 
(169 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.7 Logaritmlagarna|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp; Tillbaka till Talet e]]}}
−
{{Selected tab|[[1.7 Övningar till Logaritmlagarna|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[Logaritmlagarna|Genomgång]]}}
 +
{{Selected tab|[[Övningar till Logaritmlagarna|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Exponentialfunktioner och logaritmer|Exponentialfunktioner & logaritmer]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
== G-övningar: 1-4 ==
+
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></big></big></big>
  
−
== Övning 1 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Vilka av de nedanstående ekvationerna är potensekvationer och vilka är exponentialekvationer?
 
  
−
Lös ekvationerna, om det går exakt, annars med 4 decimalers noggrannhet.
+
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Beräkna på två olika sätt, först utan och sedan med logaritmlagar.
  
−
Använd dina kunskaper från potensräkning för att lösa exponentialekvationerna utan räknare. Förklara din lösningsmetod.
+
Avrunda till 4 decimaler. Jamför och tolka resultaten<span style="color:black">:</span>  
−
+
−
a) <math> x^8 = 11\, </math>
+
  
  
−
b) <math> 2^x = 32\, </math>
+
a) &nbsp; <math> \lg\,(3 \cdot 4) </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 1 (2/0/0) a 0,4771 b 0,6021
 +
Bestäm | \, a \, | och | \, b \, | med hjälp av logaritmlagar (se Lathund):
 +
<br><br>
 +
| \lg\,(3 \cdot 4) \; = \;  a \, + \, b |
 +
<br><br>
 +
Avrunda svaren korrekt till 4 decimaler.
 +
-->
  
  
−
c) <math> (8\,x^3)^{1/3} = 1 </math>
+
b) &nbsp; <math> \displaystyle \lg\,\left(\frac{2}{5}\right) </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 2 (2/0/0) a 0,3010 b 0,6990
 +
Bestäm | \, a \, | och | \, b \, | med hjälp av logaritmlagar (se Lathund):
 +
<br><br>
 +
| \displaystyle \lg\,\left(\frac{2}{5}\right) \; = \;  a \, - \, b |
 +
<br><br>
 +
Avrunda svaren korrekt till 4 decimaler.
 +
-->
  
  
−
d) <math> 4^x + 4^{x+1} = 80\, </math>
+
c) &nbsp; <math> \lg\,(4\,^2) </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 3 (2/0/0) a 2 b 0,6021
 +
Bestäm | \, a \, | och | \, b \, | med hjälp av logaritmlagar (se Lathund):
 +
<br><br>
 +
| \lg\,(4\,^2) \; = \;  a \, \cdot \, b |
 +
<br><br>
 +
Avrunda svaren korrekt till 4 decimaler.
 +
-->
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.6 Svar 1a|Lösning 1a|1.6 Lösning 1a|Svar 1b|1.6 Svar 1b|Lösning 1b|1.6 Lösning 1b|Svar 1c|1.6 Svar 1c|Lösning 1c|1.6 Lösning 1c|Svar 1d|1.6 Svar 1d|Lösning 1d|1.6 Lösning 1d}}
 
  
−
== Övning 2 ==
+
d) &nbsp; <math> \displaystyle \lg\,\left(\frac{7}{2}\right) \, + \, \lg\,\left(9\,^{\frac{1}{2}}\right) </math>
−
<div class="ovning">
+
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 4 (2/2/0) a 0,8451 b 0,301 c 0,5 d 0,9542
−
Skriv ned hur läser man följande uttryck. Ange deras värde utan att använda räknare:
+
Bestäm | \, a \, |, | \, b \, |, | \, c \, | och | \, d \, | med hjälp av logaritmlagar (se Lathund):
 +
<br><br>
 +
| \displaystyle \lg\,\left(\frac{7}{2}\right) \, + \, \lg\,\left(9\,^{\frac{1}{2}}\right) \; = \;  a \, - \, b \, + \, c \, \cdot \, d |
 +
<br><br>
 +
Avrunda svaren korrekt till 4 decimaler.
 +
-->
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.7 Svar 1a|Lösning 1a|1.7 Lösning 1a|Svar 1b|1.7 Svar 1b|Lösning 1b|1.7 Lösning 1b|Svar 1c|1.7 Svar 1c|Lösning 1c|1.7 Lösning 1c|Svar 1d|1.7 Svar 1d|Lösning 1d|1.7 Lösning 1d}}
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Fyll i först de platser som är markerade med frågetecken. Avrunda till 5 decimaler.
 +
 
 +
Beräkna sedan uttrycken till vänster och höger om likhetstecknet.
 +
 
 +
 
 +
a) &nbsp; <math> \lg 36 \; = \; \lg 4 \, + \, \lg \, ? </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.3 10-logaritmer, övn 9 (0/1/0) Svar 4
 +
Bestäm frågetecknet och kontrollera din lösning:
 +
<br><br>
 +
|  \lg \; ?  \; = \; 0,602060 |
 +
<br><br>
 +
Avrunda svaret till heltal.
 +
-->
 +
<!-- Appens kod: 3.3 10-logaritmer, övn 10 (1/1/0) x 9
 +
Lös ekvationen och kontrollera din lösning:
 +
<br><br>
 +
|  \lg \, x  \, + \, \lg 4 \; = \; \lg 36 |
 +
-->
 +
<!-- Appens kod: 3.3 10-logaritmer, övn 12 (0/1/0) Svar 0,602060
 +
Bestäm frågetecknet och kontrollera din lösning:
 +
<br><br>
 +
|  10\,^? \; = \;\, 4 |
 +
<br><br>
 +
Avrunda svaret korrekt till 6 decimaler.
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
b) &nbsp; <math> \lg 4 \; = \; \lg 8 - \lg \, ? </math>
 +
 
 +
 
 +
c) &nbsp; <math> \lg\,9 \; = \; ? \; \cdot\; \lg 3  </math>
 +
 
 +
 
 +
d) &nbsp; <math> \lg 1 + \lg 10 \; = \; \lg \, ? </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 5 (2/0/0) ? 10
 +
Bestäm | \, ? \, | med hjälp av logaritmlagar (se Lathund):
 +
<br><br>
 +
| \lg 1 + \lg 10 \; = \; \lg \, ? |
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
e) &nbsp; <math> \lg 16 - \lg 4 \; = \; \lg \, ? </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 6 (2/0/0) ? 4
 +
Bestäm | \, ? \, | med hjälp av logaritmlagar (se Lathund):
 +
<br><br>
 +
| \lg\,16 - \lg\,4 \; = \; \lg \, ? |
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
f) &nbsp; <math> 3 \cdot \lg\,2 \; = \; \lg \, ? </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.3 10-logaritmer, övn 11 (1/1/0) x 8
 +
1) Lös ekvationen och kontrollera din lösning:
 +
<br><br>
 +
| \displaystyle \frac{\lg\,x}{3} \; = \; \lg\,2 |
 +
2) 3.4 Logaritmlagarna, övn 7 (2/0/0) ? 8
 +
Bestäm | \, ? \, | med hjälp av logaritmlagar (se Lathund):
 +
<br><br>
 +
| 3 \cdot \lg\,2 \; = \; \lg \, ? |
 +
-->
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.7 Svar 2a|Lösning 2a|1.7 Lösning 2a|Svar 2b|1.7 Svar 2b|Lösning 2b|1.7 Lösning 2b|Svar 2c|1.7 Svar 2c|Lösning 2c|1.7 Lösning 2c|Svar 2d|1.7 Svar 2d|Lösning 2d|1.7 Lösning 2d|Svar 2e|1.7 Svar 2e|Lösning 2e|1.7 Lösning 2e|Svar 2f|1.7 Svar 2f|Lösning 2f|1.7 Lösning 2f}}
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 3</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Lös följande ekvationer med 6 decimalers noggrannhet.
 +
 
 +
Hur skulle du svara om det hade varit krav på <i>exakt</i> lösning?
 +
 
 +
 
 +
a) &nbsp; <math> 2^x = 35\, </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 9 (1/1/0) x 5,129283
 +
Lös ekvationen:
 +
<br><br>
 +
| 2\,^x \; = \; 35 |
 +
<br><br>
 +
Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
b) &nbsp; <math> 5 \cdot 1,09\,^x \; = \; 25 </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 10 (1/2/0) x 18,67580
 +
Lös ekvationen:
 +
<br><br>
 +
| 5 \cdot 1,09\,^x \; = \; 25 |
 +
<br><br>
 +
Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
c) &nbsp; <math> 4\,^x + 4\,^{x+1} \; = \; 85 </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 11 (1/2/1) x 2,043731
 +
Lös ekvationen:
 +
<br><br>
 +
| 4\,^x + 4\,^{x+1} \; = \; 85 |
 +
<br><br>
 +
Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
 +
-->
 
   
 
   
−
a) <math> \log_{10} 100\,000 </math>
 
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.7 Svar 3a|Lösning 3a|1.7 Lösning 3a|Svar 3b|1.7 Svar 3b|Lösning 3b|1.7 Lösning 3b|Svar 3c|1.7 Svar 3c|Lösning 3c|1.7 Lösning 3c}}
 +
</div>
 +
 +
 +
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Är följande förenklingar korrekta? Om inte, korrigera dem:
 +
 +
 +
a) &nbsp; <math> \lg\,54 - \lg\,38 \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,54}{\lg\,38} </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 12 (0/2/0) Svar 0
 +
Är följande förenkling korrekt eller ej?
 +
<br><br>
 +
| \lg\,54 - \lg\,38 \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,54}{\lg\,38} |
 +
<br><br>
 +
Svara med |1| för KORREKT och |0| för EJ KORREKT.
 +
-->
 +
 +
 +
b) &nbsp; <math> \lg\,(3\,x^5) \; = \; 5 \cdot \lg 3\,x </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 13 (0/2/0) Svar 0
 +
Är följande förenkling korrekt eller ej?
 +
<br><br>
 +
| \lg\,(3\,x^5) \; = \; 5 \cdot \lg 3\,x |
 +
<br><br>
 +
Svara med |1| för KORREKT och |0| för EJ KORREKT.
 +
-->
 +
 +
 +
c) &nbsp; <math> \displaystyle \lg\,\left(\frac{3}{2}\right) \; + \; \lg\,\left(\frac{2}{3}\right) \; = \; 0 </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 14 (0/2/0) Svar 1
 +
Är följande förenkling korrekt eller ej?
 +
<br><br>
 +
| \displaystyle \lg\,\left(\frac{3}{2}\right) \; + \; \lg\,\left(\frac{2}{3}\right) \; = \; 0 |
 +
<br><br>
 +
Svara med |1| för KORREKT och |0| för EJ KORREKT.
 +
-->
 +
 +
 +
d) &nbsp; <math> \lg\,0,2 \; = \; \lg\,2 \, - \, 1 </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 15 (0/2/0) Svar 1
 +
Är följande förenkling korrekt eller ej?
 +
<br><br>
 +
| \lg\,0,2 \; = \; \lg\,2 \, - \, 1 |
 +
<br><br>
 +
Svara med |1| för KORREKT och |0| för EJ KORREKT.
 +
-->
 +
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.7 Svar 4a|Lösning 4a|1.7 Lösning 4a|Svar 4b|1.7 Svar 4b|Lösning 4b|1.7 Lösning 4b|Svar 4c|1.7 Svar 4c|Lösning 4c|1.7 Lösning 4c|Svar 4d|1.7 Svar 4d|Lösning 4d|1.7 Lösning 4d}}
 +
</div>
 +
 +
 +
 +
 +
<big><big><big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></big></big></big>
 +
 +
 +
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Lös följande ekvationer exakt:
 +
 +
 +
a) &nbsp; <math> 5 \cdot 6\,^x \; = \; 7\,^x </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 16 (0/1/2) x 10,440680
 +
Lös ekvationen:
 +
<br><br>
 +
| 5 \cdot 6\,^x \; = \; 7\,^x |
 +
<br><br>
 +
Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
 +
-->
 +
 +
 +
b) &nbsp; <math> 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 17 (0/1/2) x -1,356915
 +
Lös ekvationen:
 +
<br><br>
 +
| 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x |
 +
<br><br>
 +
Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
 +
-->
 +
 +
 +
c) &nbsp; <math> \lg\,(x+1) \, + \, \lg\,(x-1) \; = \; \lg\,3 \, - \, \lg\,4 </math>
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 18 (0/1/2) x 1,322876
 +
Lös ekvationen:
 +
<br><br>
 +
| \lg\,(x+1) \, + \, \lg\,(x-1) \; = \; \lg\,3 \, - \, \lg\,4 |
 +
<br><br>
 +
Ange svaret med 6 decimalers noggrannhet.
 +
-->
 +
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.7 Svar 5a|Lösning 5a|1.7 Lösning 5a|Svar 5b|1.7 Svar 5b|Lösning 5b|1.7 Lösning 5b|Svar 5c|1.7 Svar 5c|Lösning 5c|1.7 Lösning 5c}}
 +
</div>
 +
 +
 +
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
En ny bil köptes för <math> \, 325\,000 \, </math> kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till <math> \, 17\,\% \, </math> per år. 
 +
 +
 +
a) &nbsp; Ställ upp en exponentialfunktion som en modell för bilens värdeminskning.
 +
 +
Använd modellen för att besvara följande frågor:
 +
 +
b) &nbsp; Hur mycket var bilen värd efter <math> \, 2 \, </math> år?
 +
 +
c) &nbsp; Efter hur många år och månader är bilens värde <math> \, 100\,000 \, </math>?
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 19 (0/2/2) År 6 Månader 4
 +
En ny bil köptes för | \, 325\,000 \, | kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till | \, 17\,\% \, | per år. 
 +
<br><br>
 +
Efter hur många år och månader är bilens värde | \, 100\,000 \, |?
 +
<br><br>
 +
Ange svaren i heltal.
 +
-->
 +
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.7 Svar 6a|Lösning 6a|1.7 Lösning 6a|Svar 6b|1.7 Svar 6b|Lösning 6b|1.7 Lösning 6b|Svar 6c|1.7 Svar 6c|Lösning 6c|1.7 Lösning 6c}}
 +
 +
<!-- Appens fullständiga lösning:
 +
En värdeminskning på | 17\% | innebär en förändringsfaktor (FF) på | 1 - 0,17 = 0,83\, |.
 +
<br><br>
 +
Vi inför följande beteckningar:
 +
<br><br>
 +
| \qquad x =\, | Antal år efter inköpet
 +
<br><br>
 +
| \qquad y =\, | Bilens aktuella värde
 +
<br><br>
 +
Så kan vi ställa upp följande modell för bilens värdeminskning:
 +
<br><br>
 +
| \quad  y = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x |
 +
<br><br>
 +
Därav får man följande ekvation genom att sätta y till | 100\,000 | kr:
 +
<br><br>
 +
| \quad  100\,000 = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x |
 +
<br><br>
 +
Lösningen:
 +
<br><br>
 +
| \quad \begin{align} 325\,000 \cdot (0,83)\,^x & = 100\,000 & &\;| \; /\,325\,000              \\
 +
                                    (0,83)\,^x & = {100 \over 325}                  \quad  & &\;| \;\lg\,(\,\cdot\,) \\
 +
                              \lg\,((0,83)\,^x) & = \lg\,\left({100 \over 325}\right) \quad  & &: \;\text{Logaritmlag 3 i VL} \\
 +
                              x \cdot \lg(0,83) & = \lg \,\left({100 \over 325}\right)  \\
 +
                                              x & = {\lg \,\left({100 \over 325}\right) \over \lg(0,83)} \\
 +
                                              x & = 6,32565
 +
        \end{align}|
 +
<br><br>
 +
För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med | \, 12\, |:
 +
<br><br>
 +
| \quad  0,32565 \cdot 12 \, = \, 3,91 |
 +
<br><br>
 +
Detta blir avrundat | \, 4\, | månader. Därför:
 +
<br><br>
 +
Bilens värde har minskat till |100\,000| efter | \, 6\, | år och | \, 4\, | månader.
 +
-->
 +
</div>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<big><big><big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></big></big></big>
 +
 +
 +
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Landet A hade år 1990 <math> \, 42,5 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på <math> \, 2,8\,\% \, </math> per år.
 +
 +
Landet B hade samma år <math> \, 63,7 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år.
 +
 +
Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.
 +
 +
Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
 +
<!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 20 (0/2/3) År 16 Månader 5
 +
Landet A hade år 1990 | \, 42,5 \, | miljoner invånare med en tillväxttakt på | \, 2,8\,\% \, | per år.
 +
<br><br>
 +
Landet B hade samma år | \, 63,7 \, | miljoner invånare med en tillväxttakt på | \, 0,3\,\% \, | per år.
 +
<br><br>
 +
Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.
 +
<br><br>
 +
Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare?
 +
<br><br>
 +
Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
 +
-->
 +
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.7 Svar 7|Lösning 7|1.7 Lösning 7}}
 +
 +
<!-- Appens fullständiga lösning:
 +
Från modellen:
 +
<br><br>
 +
| \quad \begin{align}      42,5 \cdot (1,028)\,^x & = 63,7 \cdot (1,003)\,^x \quad & &\;| \; /\,42,5\,/\,(1,003)\,^x \\
 +
                  {(1,028)\,^x \over (1,003)\,^x} & = {63,7 \over 42,5}    \\
 +
              \left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = {63,7 \over 42,5}  \quad & &\;| \; \lg\,(\,\cdot\,)  \\
 +
          \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right)  \\
 +
    x\cdot \lg\left({1,028 \over 1,003}\right) & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right)  \\
 +
                                      x & = {\lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \over \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)} \\
 +
                                      x & = 16,4373
 +
        \end{align} |
 +
<br><br>
 +
För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med | \, 12\, |:
 +
<br><br>
 +
| \qquad 0,4373 \cdot 12 = 5,25 |
 +
<br><br>
 +
Detta blir avrundat | 5\, | månader. Därför:
 +
<br><br>
 +
Det tar | \, 16\, | år och | \, 5 \, | månader tills båda länderna har lika många invånare.
 +
-->
 +
</div>
 +
 +
 +
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Mellan energin <math> \, E \, </math> som frigörs vid en jordbävning och dess magnitud <math> \, M \, </math> på Richterskalan gäller följande samband<span style="color:black">:</span>
 +
 +
::::::<math> \displaystyle M \; = \; {2 \over 3}\,\left(\lg\,E - {22 \over 5}\right) </math>
 +
 +
I mars 2011 drabbades Japan av en jordbävning med magnituden <math> \, M = 9,1 \, </math> på Richterskalan.
 +
 +
Beräkna den frigjorda energin <math> \, E \, </math>.
 +
 +
Kalle hävdar att denna energimängd är av samma storleksordning som hela Sverige förbrukar på ett år.
 +
 +
Frivillig: Sök på Internet efter information om Sveriges energiförbrukning för att kontrollera om Kalles påstående stämmer.
  
−
b) <math> \lg 10\,000 </math>
+
<!-- Appens kod: 3.3 10-logaritmer, övn 15 (0/2/1) a 1,122 n 18
 +
Mellan energin | \, E \, | som frigörs vid en jordbävning och dess magnitud | \, M \, | på Richterskalan gäller följande samband:
 +
<br><br>
 +
| \displaystyle M \; = \; {2 \over 3}\,\left(\lg\,E - {22 \over 5}\right) |
 +
<br><br>
 +
I mars 2011 drabbades Japan av en jordbävning med magnituden | \, M = 9,1 \, | på Richterskalan.
 +
<br><br>
 +
Beräkna den frigjorda energin | \, E \, |.
 +
<br><br>
 +
Ange svaret i grundpotensform: | \quad a \, \cdot \, 10\,^n |
 +
<br>
 +
Mata in | \, a \, | med 3 decimaler och | \, n \, | som heltal.
 +
-->
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.7 Svar 8|Lösning 8|1.7 Lösning 8}}
 +
</div>
  
  
−
c) <math> \log_2 8\, </math>
+
<!--
 +
= Facit =
  
  
−
d) <math> \log_3 9\, </math>
+
== 1a ==
 +
<math> 1,0792\, </math>
  
 +
== 1b ==
 +
<math> -0,3010\, </math>
  
−
e) <math> \log_5 125\, </math>
+
== 1c ==
 +
<math> 1,3979\, </math>
  
 +
== 1d ==
 +
<math> 1,0212\, </math>
  
−
f) <math> \log_2 {1 \over 4} </math>
+
== 2a ==
 +
<math> 9\, </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.6 Svar 2a|Lösning 2a|1.6 Lösning 2a|Svar 2b|1.6 Svar 2b|Lösning 2b|1.6 Lösning 2b|Svar 2c|1.6 Svar 2c|Lösning 2c|1.6 Lösning 2c|Svar 2d|1.6 Svar 2d|Lösning 2d|1.6 Lösning 2d|Svar 2e|1.6 Svar 2e|Lösning 2e|1.6 Lösning 2e|Svar 2f|1.6 Svar 2f|Lösning 2f|1.6 Lösning 2f}}
+
<math> 1,55630\, </math>
  
−
== Övning 3 ==
+
== 2b ==
−
<div class="ovning">
+
<math> 2\, </math>
−
Beräkna uttrycken nedan utan att använda räknare:
+
  
−
a) <math> \log_4 2 + \log_9 3\, </math>
+
<math> 0,60206\, </math>
  
 +
== 2c ==
 +
<math> 2\, </math>
  
−
b) <math> \log_8 2 - \log_{27} 3\, </math>
+
<math> 0,95424\, </math>
  
 +
== 2d ==
 +
<math> 10\, </math>
  
−
c) <math> \log_6 \sqrt{6} \cdot \log_5 \sqrt{5}\, </math>  
+
<math> 1\, </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.6 Svar 3a|Lösning 3a|1.6 Lösning 3a|Svar 3b|1.6 Svar 3b|Lösning 3b|1.6 Lösning 3b|Svar 3c|1.6 Svar 3c|Lösning 3c|1.6 Lösning 3c}}
+
== 2e ==
 +
<math> 4\, </math>
  
−
== Övning 4 ==
+
<math> 0,60206\,</math>
−
<div class="ovning">
+
−
Svara först utan att använda räknare. Bekräfta sedan ditt resultat men räknaren i de fall det går (10-logaritmerna). LOG-knappen på räknaren är 10-logaritmen. Vad blir:
+
  
−
a) <math> 10^{\lg 32}\, </math>
+
== 2f ==
 +
<math> 8\, </math>
  
 +
<math> 0,90309\, </math>
  
−
b) <math> 3^{\log_3 5}\, </math>
+
== 3a ==
 +
<math> x = 5,129283\, </math>
  
 +
Exakt:
  
−
c) <math> \lg(10^6)\, </math>
+
<math> x = {\lg\,35 \over \lg\,2} </math>
  
 +
== 3b ==
 +
<math> x = 18,67580\, </math>
  
−
d) <math> \log_3(3^8)\, </math>
+
Exakt:
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.6 Svar 4a|Lösning 4a|1.6 Lösning 4a|Svar 4b|1.6 Svar 4b|Lösning 4b|1.6 Lösning 4b|Svar 4c|1.6 Svar 4c|Lösning 4c|1.6 Lösning 4c|Svar 4d|1.6 Svar 4d|Lösning 4d|1.6 Lösning 4d}}
+
<math> x = {\lg\,5 \over \lg\,1,09} </math>
  
−
== VG-övningar: 5-6 ==
+
== 3c ==
 +
<math> x = 2,043731\, </math>
  
−
== Övning 5 ==
+
Exakt:
−
<div class="ovning">
+
−
Lös följande exponentialekvationer genom att skriva om baserna till 10-potenser. Använd räknaren för att få fram 10-logaritmerna. Svara med 5 decimaler:
+
  
−
a) <math> 2^x \; = \; 33 </math>
+
<math> x = {\lg\,17 \over \lg\,4} </math>
  
 +
== 4a ==
 +
Inte korrekt.
  
−
b) <math> 4^x\; = \; 17 </math>
+
Korrekt: <math> \lg 54 - \lg 38 = \lg\,{54 \over 38} </math>
  
 +
== 4b ==
 +
Inte korrekt.
  
−
c) <math> 8^x = 448\, </math>
+
Korrekt: <math> \lg\,(3\,x^5) = \lg 3 + 5 \cdot \lg x </math>
  
 +
== 4c ==
 +
Korrekt
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5 Svar 5a|Lösning 5a|1.5 Lösning 5a|Svar 5b|1.5 Svar 5b|Lösning 5b|1.5 Lösning 5b|Svar 5c|1.5 Svar 5c|Lösning 5c|1.5 Lösning 5c}} -->
+
== 4d ==
 +
Korrekt
  
−
== Övning 6 ==
+
== 5a ==
−
<div class="ovning">
+
<math> x = {-\lg\,5 \over \lg\,6 - \lg\,7} </math>
−
Ett belopp på 12 000 kr sätts in på ett bankkonto med 6,5% årsränta. Inga uttag görs. Hur länge tar det exakt tills beloppet fördubblats?
+
  
−
a) Ställ upp en exponentialekvation. Använd som obekant antal år som behövs för att startkapitalet fördubblats.
+
== 5b ==
 +
<math> x = {\lg\,4 - \lg\,2 \over \lg\,3 - \lg\,5} </math>
  
−
b) Lös exponentialekvationen så noggrannt det går. Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
+
== 5c ==
 +
<math> x = {1 \over 2} \, \sqrt{7} </math>
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5 Svar 6a|Lösning 6a|1.5 Lösning 6a|Svar 6b|1.5 Svar 6b|Lösning 6b|1.5 Lösning 6b}} -->
+
== 6a ==
 +
<math> y = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x </math>
  
−
== MVG-övningar: 7-8 ==
+
== 6b ==
 +
<math> 223\,892,50 </math>
  
−
== Övning 7 ==
+
== 6c ==
−
<div class="ovning">
+
<Big><math> 6\, </math> år och <math> 4\, </math> månader.</Big>
  
−
I början av ett år sattes in <math> 4\,000 </math> kr på ett bankkonto med en årsränta på <math> 5,25\, </math>.
+
== 7 ==
 +
<math> 16\, </math> år och <math> 5\, </math> månader
  
−
Efter två månader sattes in ytterligare <math> 2\,400 </math> kr på kontot. Inga uttag gjordes från kontot under denna period.
+
== 8 ==
 +
<math>1,122 \cdot 10^{18}</math>
 +
-->
  
−
Hur länge tog det tills saldot hade blivit <math> 6\,715 </math> kr?
 
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.5 Svar 7a|Lösning 7a|1.5 Lösning 7a|Svar 7b|1.5 Svar 7b|Lösning 7b|1.5 Lösning 7b}} -->
 
  
−
== Övning 8 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen avtar exponentiellt med tiden.
 
  
−
Efter 4 timmar var temperaturen 76 º C. Under denna tid minskade temperaturen med 4,1 º C per timme.
 
  
−
a) Vilken temperatur hade kaffet när det hälldes i termosen?
 
  
−
b) Ställ upp en matematisk modell för kaffets avsvalnande.
 
  
−
c) Använd modellen från b) för att besvara frågan så noggrannt det går: Hur lång tid tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Ange svaret i antal timmar och avrundat antal minuter.
 
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5 Svar 8a|Lösning 8a|1.5 Lösning 8a|Svar 8b|1.5 Svar 8b|Lösning 8b|1.5 Lösning 8b|Svar 8c|1.5 Svar 8c|Lösning 8c|1.5 Lösning 8c}} -->
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 13 mars 2017 kl. 12.00

        <<   Tillbaka till Talet e          Genomgång          Övningar          Exponentialfunktioner & logaritmer      


E-övningar: 1-4


Övning 1

Beräkna på två olika sätt, först utan och sedan med logaritmlagar.

Avrunda till 4 decimaler. Jamför och tolka resultaten:


a)   \( \lg\,(3 \cdot 4) \)


b)   \( \displaystyle \lg\,\left(\frac{2}{5}\right) \)


c)   \( \lg\,(4\,^2) \)


d)   \( \displaystyle \lg\,\left(\frac{7}{2}\right) \, + \, \lg\,\left(9\,^{\frac{1}{2}}\right) \)

Svar 1a
1.7 Svar 1a
Lösning 1a
1.7 Lösning 1a
Svar 1b
1.7 Svar 1b
Lösning 1b
1.7 Lösning 1b
Svar 1c
1.7 Svar 1c
Lösning 1c
1.7 Lösning 1c
Svar 1d
1.7 Svar 1d
Lösning 1d
1.7 Lösning 1d


Övning 2

Fyll i först de platser som är markerade med frågetecken. Avrunda till 5 decimaler.

Beräkna sedan uttrycken till vänster och höger om likhetstecknet.


a)   \( \lg 36 \; = \; \lg 4 \, + \, \lg \, ? \)


b)   \( \lg 4 \; = \; \lg 8 - \lg \, ? \)


c)   \( \lg\,9 \; = \; ? \; \cdot\; \lg 3 \)


d)   \( \lg 1 + \lg 10 \; = \; \lg \, ? \)


e)   \( \lg 16 - \lg 4 \; = \; \lg \, ? \)


f)   \( 3 \cdot \lg\,2 \; = \; \lg \, ? \)

Svar 2a
1.7 Svar 2a
Lösning 2a
1.7 Lösning 2a
Svar 2b
1.7 Svar 2b
Lösning 2b
1.7 Lösning 2b
Svar 2c
1.7 Svar 2c
Lösning 2c
1.7 Lösning 2c
Svar 2d
1.7 Svar 2d
Lösning 2d
1.7 Lösning 2d
Svar 2e
1.7 Svar 2e
Lösning 2e
1.7 Lösning 2e
Svar 2f
1.7 Svar 2f
Lösning 2f
1.7 Lösning 2f


Övning 3

Lös följande ekvationer med 6 decimalers noggrannhet.

Hur skulle du svara om det hade varit krav på exakt lösning?


a)   \( 2^x = 35\, \)


b)   \( 5 \cdot 1,09\,^x \; = \; 25 \)


c)   \( 4\,^x + 4\,^{x+1} \; = \; 85 \)


Svar 3a
1.7 Svar 3a
Lösning 3a
1.7 Lösning 3a
Svar 3b
1.7 Svar 3b
Lösning 3b
1.7 Lösning 3b
Svar 3c
1.7 Svar 3c
Lösning 3c
1.7 Lösning 3c


Övning 4

Är följande förenklingar korrekta? Om inte, korrigera dem:


a)   \( \lg\,54 - \lg\,38 \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,54}{\lg\,38} \)


b)   \( \lg\,(3\,x^5) \; = \; 5 \cdot \lg 3\,x \)


c)   \( \displaystyle \lg\,\left(\frac{3}{2}\right) \; + \; \lg\,\left(\frac{2}{3}\right) \; = \; 0 \)


d)   \( \lg\,0,2 \; = \; \lg\,2 \, - \, 1 \)

Svar 4a
1.7 Svar 4a
Lösning 4a
1.7 Lösning 4a
Svar 4b
1.7 Svar 4b
Lösning 4b
1.7 Lösning 4b
Svar 4c
1.7 Svar 4c
Lösning 4c
1.7 Lösning 4c
Svar 4d
1.7 Svar 4d
Lösning 4d
1.7 Lösning 4d



C-övningar: 5-6


Övning 5

Lös följande ekvationer exakt:


a)   \( 5 \cdot 6\,^x \; = \; 7\,^x \)


b)   \( 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x \)


c)   \( \lg\,(x+1) \, + \, \lg\,(x-1) \; = \; \lg\,3 \, - \, \lg\,4 \)

Svar 5a
1.7 Svar 5a
Lösning 5a
1.7 Lösning 5a
Svar 5b
1.7 Svar 5b
Lösning 5b
1.7 Lösning 5b
Svar 5c
1.7 Svar 5c
Lösning 5c
1.7 Lösning 5c


Övning 6

En ny bil köptes för \( \, 325\,000 \, \) kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till \( \, 17\,\% \, \) per år.


a)   Ställ upp en exponentialfunktion som en modell för bilens värdeminskning.

Använd modellen för att besvara följande frågor:

b)   Hur mycket var bilen värd efter \( \, 2 \, \) år?

c)   Efter hur många år och månader är bilens värde \( \, 100\,000 \, \)?

Svar 6a
1.7 Svar 6a
Lösning 6a
1.7 Lösning 6a
Svar 6b
1.7 Svar 6b
Lösning 6b
1.7 Lösning 6b
Svar 6c
1.7 Svar 6c
Lösning 6c
1.7 Lösning 6c



A-övningar: 7-8


Övning 7

Landet A hade år 1990 \( \, 42,5 \, \) miljoner invånare med en tillväxttakt på \( \, 2,8\,\% \, \) per år.

Landet B hade samma år \( \, 63,7 \, \) miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år.

Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.

Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.

Svar 7
1.7 Svar 7
Lösning 7
1.7 Lösning 7


Övning 8

Mellan energin \( \, E \, \) som frigörs vid en jordbävning och dess magnitud \( \, M \, \) på Richterskalan gäller följande samband:

\[ \displaystyle M \; = \; {2 \over 3}\,\left(\lg\,E - {22 \over 5}\right) \]

I mars 2011 drabbades Japan av en jordbävning med magnituden \( \, M = 9,1 \, \) på Richterskalan.

Beräkna den frigjorda energin \( \, E \, \).

Kalle hävdar att denna energimängd är av samma storleksordning som hela Sverige förbrukar på ett år.

Frivillig: Sök på Internet efter information om Sveriges energiförbrukning för att kontrollera om Kalles påstående stämmer.

Svar 8
1.7 Svar 8
Lösning 8
1.7 Lösning 8






Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Övningar_till_Logaritmlagarna&oldid=33471"