Skillnad mellan versioner av "Övningar till Logaritmlagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (4 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 282: | Rad 282: | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.7 Svar 6a|Lösning 6a|1.7 Lösning 6a|Svar 6b|1.7 Svar 6b|Lösning 6b|1.7 Lösning 6b|Svar 6c|1.7 Svar 6c|Lösning 6c|1.7 Lösning 6c}} | {{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.7 Svar 6a|Lösning 6a|1.7 Lösning 6a|Svar 6b|1.7 Svar 6b|Lösning 6b|1.7 Lösning 6b|Svar 6c|1.7 Svar 6c|Lösning 6c|1.7 Lösning 6c}} | ||
| + | |||
| + | <!-- Appens fullständiga lösning: | ||
| + | En värdeminskning på | 17\% | innebär en förändringsfaktor (FF) på | 1 - 0,17 = 0,83\, |. | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Vi inför följande beteckningar: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \qquad x =\, | Antal år efter inköpet | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \qquad y =\, | Bilens aktuella värde | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Så kan vi ställa upp följande modell för bilens värdeminskning: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \quad y = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x | | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Därav får man följande ekvation genom att sätta y till | 100\,000 | kr: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \quad 100\,000 = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x | | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Lösningen: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \quad \begin{align} 325\,000 \cdot (0,83)\,^x & = 100\,000 & &\;| \; /\,325\,000 \\ | ||
| + | (0,83)\,^x & = {100 \over 325} \quad & &\;| \;\lg\,(\,\cdot\,) \\ | ||
| + | \lg\,((0,83)\,^x) & = \lg\,\left({100 \over 325}\right) \quad & &: \;\text{Logaritmlag 3 i VL} \\ | ||
| + | x \cdot \lg(0,83) & = \lg \,\left({100 \over 325}\right) \\ | ||
| + | x & = {\lg \,\left({100 \over 325}\right) \over \lg(0,83)} \\ | ||
| + | x & = 6,32565 | ||
| + | \end{align}| | ||
| + | <br><br> | ||
| + | För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med | \, 12\, |: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \quad 0,32565 \cdot 12 \, = \, 3,91 | | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Detta blir avrundat | \, 4\, | månader. Därför: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Bilens värde har minskat till |100\,000| efter | \, 6\, | år och | \, 4\, | månader. | ||
| + | --> | ||
</div> | </div> | ||
| Rad 293: | Rad 329: | ||
== <b>Övning 7</b> == | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | Landet A hade år 1990 <math> \, 42,5 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på 2,8% per år. | + | Landet A hade år 1990 <math> \, 42,5 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på <math> \, 2,8\,\% \, </math> per år. |
Landet B hade samma år <math> \, 63,7 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år. | Landet B hade samma år <math> \, 63,7 \, </math> miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år. | ||
| Rad 300: | Rad 336: | ||
Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader. | Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader. | ||
| + | <!-- Appens kod: 3.4 Logaritmlagarna, övn 20 (0/2/3) År 16 Månader 5 | ||
| + | Landet A hade år 1990 | \, 42,5 \, | miljoner invånare med en tillväxttakt på | \, 2,8\,\% \, | per år. | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Landet B hade samma år | \, 63,7 \, | miljoner invånare med en tillväxttakt på | \, 0,3\,\% \, | per år. | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell. | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Ange svaret i antal år och avrundat antal månader. | ||
| + | --> | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.7 Svar 7|Lösning 7|1.7 Lösning 7}} | {{#NAVCONTENT:Svar 7|1.7 Svar 7|Lösning 7|1.7 Lösning 7}} | ||
| + | |||
| + | <!-- Appens fullständiga lösning: | ||
| + | Från modellen: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \quad \begin{align} 42,5 \cdot (1,028)\,^x & = 63,7 \cdot (1,003)\,^x \quad & &\;| \; /\,42,5\,/\,(1,003)\,^x \\ | ||
| + | {(1,028)\,^x \over (1,003)\,^x} & = {63,7 \over 42,5} \\ | ||
| + | \left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = {63,7 \over 42,5} \quad & &\;| \; \lg\,(\,\cdot\,) \\ | ||
| + | \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \\ | ||
| + | x\cdot \lg\left({1,028 \over 1,003}\right) & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \\ | ||
| + | x & = {\lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \over \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)} \\ | ||
| + | x & = 16,4373 | ||
| + | \end{align} | | ||
| + | <br><br> | ||
| + | För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med | \, 12\, |: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | | \qquad 0,4373 \cdot 12 = 5,25 | | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Detta blir avrundat | 5\, | månader. Därför: | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Det tar | \, 16\, | år och | \, 5 \, | månader tills båda länderna har lika många invånare. | ||
| + | --> | ||
</div> | </div> | ||
Nuvarande version från 13 mars 2017 kl. 12.00
| << Tillbaka till Talet e | Genomgång | Övningar | Exponentialfunktioner & logaritmer |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Beräkna på två olika sätt, först utan och sedan med logaritmlagar.
Avrunda till 4 decimaler. Jamför och tolka resultaten:
a) \( \lg\,(3 \cdot 4) \)
b) \( \displaystyle \lg\,\left(\frac{2}{5}\right) \)
c) \( \lg\,(4\,^2) \)
d) \( \displaystyle \lg\,\left(\frac{7}{2}\right) \, + \, \lg\,\left(9\,^{\frac{1}{2}}\right) \)
Hämtar...
Övning 2
Fyll i först de platser som är markerade med frågetecken. Avrunda till 5 decimaler.
Beräkna sedan uttrycken till vänster och höger om likhetstecknet.
a) \( \lg 36 \; = \; \lg 4 \, + \, \lg \, ? \)
b) \( \lg 4 \; = \; \lg 8 - \lg \, ? \)
c) \( \lg\,9 \; = \; ? \; \cdot\; \lg 3 \)
d) \( \lg 1 + \lg 10 \; = \; \lg \, ? \)
e) \( \lg 16 - \lg 4 \; = \; \lg \, ? \)
f) \( 3 \cdot \lg\,2 \; = \; \lg \, ? \)
Övning 3
Lös följande ekvationer med 6 decimalers noggrannhet.
Hur skulle du svara om det hade varit krav på exakt lösning?
a) \( 2^x = 35\, \)
b) \( 5 \cdot 1,09\,^x \; = \; 25 \)
c) \( 4\,^x + 4\,^{x+1} \; = \; 85 \)
Övning 4
Är följande förenklingar korrekta? Om inte, korrigera dem:
a) \( \lg\,54 - \lg\,38 \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,54}{\lg\,38} \)
b) \( \lg\,(3\,x^5) \; = \; 5 \cdot \lg 3\,x \)
c) \( \displaystyle \lg\,\left(\frac{3}{2}\right) \; + \; \lg\,\left(\frac{2}{3}\right) \; = \; 0 \)
d) \( \lg\,0,2 \; = \; \lg\,2 \, - \, 1 \)
C-övningar: 5-6
Övning 5
Lös följande ekvationer exakt:
a) \( 5 \cdot 6\,^x \; = \; 7\,^x \)
b) \( 2 \cdot 3\,^x \; = \; 4 \cdot 5\,^x \)
c) \( \lg\,(x+1) \, + \, \lg\,(x-1) \; = \; \lg\,3 \, - \, \lg\,4 \)
Övning 6
En ny bil köptes för \( \, 325\,000 \, \) kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till \( \, 17\,\% \, \) per år.
a) Ställ upp en exponentialfunktion som en modell för bilens värdeminskning.
Använd modellen för att besvara följande frågor:
b) Hur mycket var bilen värd efter \( \, 2 \, \) år?
c) Efter hur många år och månader är bilens värde \( \, 100\,000 \, \)?
A-övningar: 7-8
Övning 7
Landet A hade år 1990 \( \, 42,5 \, \) miljoner invånare med en tillväxttakt på \( \, 2,8\,\% \, \) per år.
Landet B hade samma år \( \, 63,7 \, \) miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år.
Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.
Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
Övning 8
Mellan energin \( \, E \, \) som frigörs vid en jordbävning och dess magnitud \( \, M \, \) på Richterskalan gäller följande samband:
- \[ \displaystyle M \; = \; {2 \over 3}\,\left(\lg\,E - {22 \over 5}\right) \]
I mars 2011 drabbades Japan av en jordbävning med magnituden \( \, M = 9,1 \, \) på Richterskalan.
Beräkna den frigjorda energin \( \, E \, \).
Kalle hävdar att denna energimängd är av samma storleksordning som hela Sverige förbrukar på ett år.
Frivillig: Sök på Internet efter information om Sveriges energiförbrukning för att kontrollera om Kalles påstående stämmer.
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
