Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Taifun flyttade sidan Logaritmlagarna till Repetition: Logaritmlagarna utan att lämna en omdirigering)
m
 
(En mellanliggande version av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp; Tillbaka till Talet e & ln]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[Logaritmlagarna|Genomgång]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|Rep.: 10-logaritmer]]}}
−
{{Not selected tab|[[Övningar till Logaritmlagarna|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång Talet e & ln]]}}
−
{{Not selected tab|[[Exponentialfunktioner|Exponentialfunktioner]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|Övningar Talet e & ln]]}}
−
{{Not selected tab|[[Repetition: 10-logaritmer|10-logaritmer]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Not selected tab|[[Repetition: Exponentialfunktioner|Rep.: Exponentialfunktioner]]}}
 +
{{Selected tab|[[Repetition: Logaritmlagarna|Rep.: Logaritmlagarna]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Genomgång</span>]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen|<span style="color:white">Övningar</span>]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|<span style="color:white">Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> </span>]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 65: Rad 74:
 
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) </math>
 
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) </math>
  
−
Vi tillämpar [[10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] på högerledet dvs <math> \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, </math><span style="color:black">:</span>
+
Vi tillämpar [[Repetition: 10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] på högerledet dvs <math> \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, </math><span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y </math>
 
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y </math>
  
−
[[10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">Inversegenskapen</span></b>]] tillämpas baklänges på högerledet (<math> x = \lg 10^x \, </math> och <math> y = \lg 10^y </math>)<span style="color:black">:</span>
+
[[Repetition: 10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">Inversegenskapen</span></b>]] tillämpas baklänges på högerledet (<math> x = \lg 10^x \, </math> och <math> y = \lg 10^y </math>)<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y </math>
 
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y </math>

Nuvarande version från 21 september 2017 kl. 17.52

        <<  Förra avsnitt          Rep.: 10-logaritmer          Genomgång Talet e & ln          Övningar Talet e & ln          Nästa avsnitt  >>      
       Rep.: Exponentialfunktioner          Rep.: Logaritmlagarna          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Logaritmlagarna är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Talet e och den naturliga logaritmen.

För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.


Första logaritmlagen: \( \qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad \)

Andra logaritmlagen: \( \qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad \)

Tredje logaritmlagen: \( \qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad \)


\( A \), \( \, B \, > \, 0 \, \) och \( \, y \, \) ett godtyckligt rationellt tal.


Logaritmlagarna är potenslagarna i logaritmform.

Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.


         Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis som följer:


Bevis av logaritmlagarna


Påstående:

Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)

Bevis:

Vi skriver upp första potenslagen med basen \( \, 10 \, \):

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \]

Nu logaritmerar vi båda leden med \( \, 10\)-logaritmen:

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]
\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) \]

Vi tillämpar inversegenskapen på högerledet dvs \( \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, \):

\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y \]

Inversegenskapen tillämpas baklänges på högerledet (\( x = \lg 10^x \, \) och \( y = \lg 10^y \)):

\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y \]
Om vi inför beteckningarna
\( \, A = 10^x\, \)
och
\( \, B = 10^y\, \)
får vi påståendet:
\[ \qquad\;\; \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]


Påstående:

Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.

Den andra potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} {10^x \over 10^y} \; & = \; 10^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {10^x \over 10^y} \; & = \; \lg 10^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg 10^x \, - \, \lg 10^y \end{align} \]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.

Nya beteckningar
\( \, A = 10^x\, \)
och
\( \, B = 10^y\, \)
ger påståendet:
\[ \qquad \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]


Påstående:

Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)

Bevis:

Den tredje potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} (10^x)^y \; & = \; 10^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (10^x)^y \; & = \; \lg 10^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg 10^x \cdot y \end{align}\]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.

Beteckningen
\( \, A = 10^x\, \)
leder till påståendet:
\[ \qquad\quad \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]


Exponentialekvationer av typ \( \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)\)

Logaritmering och användning av den tredje

logaritmlagen löser denna typ av ekvation:

\(\begin{array}{rcll} 5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\ & & & : \; \text{lag på VL} \\ {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\ {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ {\color{Red} x} & = & 2,62173\ldots & \\ \end{array}\)


Kontroll:\( \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 \)

I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.

I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL:

\( \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 \)


Generellt:

Exponentialekvationen \( \quad a\,^x \, = \, b \)

har lösningen: \( \qquad\qquad\;\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \;\;\)

\( \; (a \, > \, 0) \)


Logaritmer till godtyckliga baser: Byte av bas


\(\log_{\,5}\,25 \, \) =   tal som basen \(5\) ska upp-

\( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(25\).

Det talet är \( \; {\color{Red} 2} \, \), därför att:

Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} 2} \; = \; 25 \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} 2} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,25 \)

Läs: Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) för \( \, 25 \, \).

Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) finns inte i räknaren.

I räknaren finns logaritmer till endast två baser:

\(10\)-logaritmen och logaritmen till basen \(e\) (LN).

\( \quad \)

\(\log_{\,5}\,68 \, \) =   tal som basen \(5\) ska upp-

\( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(68\).

Om vi kallar det talet för \( \; {\color{Red} x} \, \), vet vi:

Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} x} \; = \; 68 \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,68 \; = \; {\color{Red} ?} \)

Men:   Potensformen \(=\) Exponentialekvationen

med lösningen \( \; {\color{Red} x} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\)

Dvs \( \; {\color{Red} x} \, = \, \) \( \log_{\,5}\,68 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\)


         Kontroll: \( \quad \log_{\,5}\,25 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,25}{\lg\,5} \, = \, {\color{Red} 2} \)


Generellt:

Potensformen: \( \quad\; a\,^{\color{Red} x} \, = \, b \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,a}\,b \) \( \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)

\( \quad \)

Logaritmen till basen \( \, a \, \) för \( \, b \, \) kan om-

vandlas till \( \, 10\)-logaritmer (Byte av bas):  

\( \qquad\quad\;\;\; {\color{#931136} {\log_{\,a} \, b}} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)




Internetlänkar

http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm

http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php

http://math.asu.edu/fym/Courses/mat117_web/exponential_and_logarithmic_functions_notes/laws-of-logarithms/Laws_of_Logarithmic_Functions.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf





Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Repetition:_Logaritmlagarna&oldid=34222"