Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 44: | Rad 44: | ||
Vi antar att det finns en bas <math> \,e </math> (än så länge okänd) så att: | Vi antar att det finns en bas <math> \,e </math> (än så länge okänd) så att: | ||
| − | :::<math> y \; = \; f\,(x) \; = \; e\,^x </math> | + | :::<math>\begin{array}{rclcl} y & = & f\,(x) & = & e\,^x \\ |
| + | y\,' & = & f\,'\,(x) & = & e\,^x | ||
| + | \end{array}</math> y \; = \; f\,(x) \; = \; e\,^x </math> | ||
| + | +++ | ||
Räta linjens ekvation i <math>\,k</math>-form: | Räta linjens ekvation i <math>\,k</math>-form: | ||
Versionen från 24 oktober 2014 kl. 11.59
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner
Innehåll
Derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \)
Det kan vara bra att friska upp sina kunskaper om exponentialfunktionen med basen \( e\, \) (Eulers tal) från kapitel 1. Vi behöver nämligen i detta avsnitt att härleda derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) med basen \( e\, \) för att sedan kunna med hjälp av den ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \).
För att kunna göra det gör vi först ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för \( y = a\,^x \). Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel \(-\) den enklaste möjliga, nämligen derivatan = funktionen \(-\) och frågar efter en bas som gör att denna deriveringsregel gäller. Frågeställningen lyder:
Svaret är: Ja, om och endast om \( {\color{White} x} a \, = \, e \) . Detta är möjligt eftersom vi har friheten att välja en bas.
Frågeställningen har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \) som vi använde i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till? På 1700-talet bevisade Euler att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Eulers formel kan vi nu \(-\) efter att ha behandlat limesbegreppet \(-\) formulera så här:
- \[ \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; 2,718281828\cdots \; = \; e \]
Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel.
Misslyckat försök med derivatans definition
Tangenten till \( y = e\,^x \) i punkten \( \,x = 1 \)
Vi antar att det finns en bas \( \,e \) (än så länge okänd) så att:
- \[\begin{array}{rclcl} y & = & f\,(x) & = & e\,^x \\ y\,' & = & f\,'\,(x) & = & e\,^x \end{array}\] y \; = \; f\,(x) \; = \; e\,^x </math>
+++
Räta linjens ekvation i \(\,k\)-form:
- \[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]
Tangenten till kurvan \( y = f(x) = 3\,x^2 - 2\,x - 4 \) i \( x = 1 \) har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i \( x = 1 \) är \( f\,'(1) \). Därför:
- \[ k \, = \, f\,'(1) \]
Från uppgiftens del a) har vi att \( f\,'(1) = 4 \). Således:
- \[ k \, = \, 4 \]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 4\,x \, + \, m \]
Beröringspunktens koordinater:
- \[ x = 1 \]
- \[ y = f(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 3 - 2 - 4 = -3 \]
Beröringspunkten ligger på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & 4\,x \, + \, m \\ -3 & = & 4 \cdot 1 \, + \, m \\ -3 & = & 4 \, + \, m \\ -3 - 4 & = & m \\ - 7 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 4\,x \, - \, 7 \]
Eulers bevis
Deriveringsregeln för \( y = C\,e\,^{k\,x} \)
Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \)
Från att ha ställt upp deriveringsregeln för exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):
Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för exponentialfunktionen med basen \( e\, \).
Uppdaterad tabell över deriveringsregler
Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt. I följande tabell är \( C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n \) konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( x\, \) \( 1\, \) \( a\; x \) \( a\, \) \( k\; x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \) \( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( e\,^x \) \( e\,^x \) \( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \) \( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \) \( C\cdot a\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler, speciellt regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
