2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-4 \( \qquad\qquad\qquad\quad \) Anta alltid: \( \; \quad y \; = \; f(x)\, \)
Övning 1
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
a) \( y = e\,^x + 8 \)
b) \( y = e\,^{2\,x} \)
c) \( y = 3\, e\,^x \)
d) \( y = 4\, e\,^{5\,x} \)
e) \( y = 16\cdot e\,^{-3\,x} \)
f) \( y = - x + e\,^{-0,5\,x} \)
g) \( y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} \)
Hämtar...
Övning 2
Derivera:
a) \( y = 10\,^x \)
b) \( y = 2\,^x - 6 \)
c) \( y = 4\cdot 5\,^x \)
d) \( y = -7\cdot 10\,^{-x} \)
e) \( y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} \)
f) \( y = 5\,x \, - \, 2\,^{-3\,x} \, + \, 4 \, e\,^{0,5\,x} \)
Övning 3
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = e\,^x \) i punkten \( (0, 1)\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
Övning 4
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = 2\,^x \) i punkten (med x-koordinaten) \( x = 0\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
C-övningar: 5-6
Övning 5
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
a) \( \displaystyle y = {e\,^x + \, e\,^{-x} \over 2} \)
b) \( \displaystyle y = {3\,^x + \, 3\,^{-x} \over 3} \)
Övning 6
Om exponentialfunktionen
- \[ f(x) = C \cdot e\,^{k\,x} \]
vet man att \( \,f(0) = 50 \) och att \( f\,′\,(0) = 5 \).
Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \) och specificera \( \,f(x) \).
A-övningar: 7-8
Övning 7
Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen:
- \[ B\,(t) \; = \; C \cdot e\,^{k\,t} \]
där \( B\,(t) \) är antalet bakterier efter \( \, t \, \) timmar och \( \,C \) och \( \,k \) vissa konstanter.
I början mättes \( 150\, \) bakterier i mjölken. Efter \( 8\, \) timmar förökar sig bakterierna med \( 350\, \) i timmen.
Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \), specificera modellen och använd den för att besvara frågan:
Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit \( 2\,000 \) då mjölken anses blivit sur?
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se Ekvationslösning med miniräknare.
Övning 8
En affärsman hittades mördad på sitt kontor. Vid obduktionen kl 20 mätte specialister i rättsmedicin hans kroppstemperatur till 31 grader Celsius. Kl 21 konstaterade de att kroppstemperaturen minskade med 4,2 grader i timmen. Rumstemperaturen på kontoret och vid obduktionen var 18 grader Celsius.
Man vet att en kropps temperatur \( T\, \) sjunker exponentiellt med tiden enligt modellen:
- \[ T\,(t) \,=\, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \]
\(\begin{array}{lrcl} {\rm där} \;\; & t & = & {\rm Tiden\;i\;minuter\;efter\;kl\;20} \\ & T & = & {\rm Kroppstemperaturen\;i\;grader\;Celsius\;vid\;tiden\;\,} t \\ & T_0 & = & {\rm Kroppstemperaturen\;vid\;\,} t = 0 \\ & T_r & = & {\rm Rumstemperaturen} \\ & k & = & {\rm Kroppens\; materialkonstant} \end{array}\)
När skedde mordet?
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se Digital beräkning av nollställen, speciellt Ekvationslösning.
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
