Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
Målet i detta avsnitt är att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x \, </math> med en godtycklig bas <math> a > 0 </math>. Detta gör vi genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> med basen <math> \, e = </math> Eulers tal och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1. | Målet i detta avsnitt är att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x \, </math> med en godtycklig bas <math> a > 0 </math>. Detta gör vi genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> med basen <math> \, e = </math> Eulers tal och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1. | ||
| − | == Derivatan av <math> \, y = e\,^x </math> med <math> \,e = </math> Eulers tal == | + | == Derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x </math> med <math> \,e = </math> Eulers tal == |
'''<u>Påstående:</u>''' | '''<u>Påstående:</u>''' | ||
<div class="border-divblue"><big> | <div class="border-divblue"><big> | ||
| − | <b>Derivatan av exponentialfunktionen med basen <math> \, e </math></b> | + | <b>Derivatan av exponentialfunktionen med basen <math> \, e \, </math> är funktionen själv:</b> |
::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & e\,^x \;\; {\rm där} \;\; e = {\rm Eulers\;tal} \\ | ::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & e\,^x \;\; {\rm där} \;\; e = {\rm Eulers\;tal} \\ | ||
Versionen från 19 november 2015 kl. 12.43
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner
Målet i detta avsnitt är att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \, \) med en godtycklig bas \( a > 0 \). Detta gör vi genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \, \) med basen \( \, e = \) Eulers tal och sedan gå över till godtycklig bas \( \,a \). Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om exponentialfunktionen med basen \( e\, \) (Eulers tal) från kapitel 1.
Derivatan av exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \) med \( \,e = \) Eulers tal
Påstående:
Derivatan av exponentialfunktionen med basen \( \, e \, \) är funktionen själv:
- \[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & e\,^x \;\; {\rm där} \;\; e = {\rm Eulers\;tal} \\ {\rm då} & y\,' & = & e\,^x \end{array}\]
Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för \( y = a\,^x \). Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel \(-\) den enklaste möjliga, nämligen derivatan = funktionen \(-\) och frågar efter en bas som gör att denna deriveringsregel gäller. Därför lyder frågeställningen:
Svaret är: Ja, om och endast om \( {\color{White} x} a \, = \, e \) . Detta är möjligt eftersom vi har friheten att välja en bas.
Frågeställningen har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \) som vi använde i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till? På 1700-talet bevisade Euler att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Eulers formel kan vi nu \(-\) efter att ha behandlat limesbegreppet \(-\) formulera så här:
- \[ \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots \]
Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel. Men först ska vi försöka med derivatans definition:
Misslyckat försök med derivatans definition
Bevis
Vi antar att det finns en bas \( \,b \) \(-\) som än så länge är okänd \(-\) så att:
- \[\begin{array}{lclcl} y & = & f\,(x) & = & b\,^x \\ y\,' & = & f\,'\,(x) & = & b\,^x \end{array}\]
Vi konstruerar tangenten till \( y = b\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \):
Ekvationen för tangenten till kurvan \( y = b\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \) har \(\,k\)-formen \( y \, = \, k\,x \, + \, m \) .
För att bestämma \( \, k \) konstaterar vi att tangenten till kurvan \( y = b\,^x \) i \( \,x = 0 \) har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt, nämligen \( f\,'(0) \). Därför:
- \[ k \, = \, f\,'(0) \, = \, b\,^0\, = \, 1 \]
Således blir tangentens ekvation \( y \, = \, x \, + \, m \) .
För att bestämma \( \, m \) sätter vi in beröringspunktens koordinater
- \[ x = 0 \]
- \[ y = f(0) = b\,^0 = 1 \]
i tangentens ekvation och beräknar \( \, m \):
- \[\begin{array}{rcl} y & = & x \, + \, m \\ 1 & = & 0 \, + \, m \\ 1 & = & m \end{array}\]
Då blir tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, x \, + \, 1 \]
Eulers bevis
På denna tangent konstruerar vi en punktföljd \( P_1, \, P_2, \, P_3, \, \ldots \) vars \( \,x\)-koordinater bildar talföljden
- \[ 1, \, {1 \over 2}, \, {1 \over 3}, \, {1 \over 4}, \, \ldots \qquad {\rm med\;den\;allmänna \;termen} \qquad x_n \, = \, {1 \over n} \qquad \mbox{där} \;\; n = 1,\,2,\,3,\,\cdots \]
Se även tabellen i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?
Deriveringsregeln för \( y = C\,e\,^{k\,x} \)
Derivatan av exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \)
Från att ha ställt upp deriveringsregeln för exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):
Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för exponentialfunktionen med basen \( e\, \).
Deriveringsregeln för \( y = C\,a\,^{k\,x} \)
Vi har det generella resultatet:
Derivatan av exponentialfunktionen \( y = C\,a\,^{k\,x} \) med godtycklig bas \( \, a > 0 \) och \( C,\,k = {\rm const.} \)
- \[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & C\,a\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\;\; C,\,k = {\rm const.} \\ {\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \end{array}\]
Uppdaterad tabell över deriveringsregler
Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt. I följande tabell är \( C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n \) konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( x\, \) \( 1\, \) \( a\; x \) \( a\, \) \( k\; x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \) \( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( e\,^x \) \( e\,^x \) \( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \) \( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \) \( C\cdot a\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler, speciellt regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
