Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
<!-- <big>Logaritmlagarna är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]].</big> --> | <!-- <big>Logaritmlagarna är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]].</big> --> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> == | ||
| + | |||
| + | <big> | ||
| + | Följande lagar gäller för potenser där basernna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal: | ||
| + | </big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | </div> <!-- border-divblue --> | ||
| + | |||
== Logaritmlagarna == | == Logaritmlagarna == | ||
Versionen från 19 januari 2017 kl. 16.47
| << Tillbaka till Talet e | Genomgång | Övningar | Exponentialfunktioner & logaritmer |
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basernna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal:
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
Logaritmlagarna
Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \), men här är basen vald till 10, \( A \) och \( B \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.
Bevis av logaritmlagarna
Lagarna ovan gäller för vilken bas som helst. Istället för \( \lg\, \) skulle kunna stå \( \log\, \) utan angivelse av basen. Därför skriver vi upp lagarna och för vi bevisen mera generellt med \( \log\, \).
Logaritmlag 1:
- \[ \log(A \cdot B) \; = \; \log A + \log B \]
Bevis:
Logaritmlagarna är potenslagarnas logaritmering. Därför skriver vi upp första potenslagen:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \]
- \[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]
Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:
- \[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]
Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst. Därav följer påståendet.
Logaritmlag 2:
- \[ \log\,{A \over B} \; = \; \log A - \log B \]
Bevis:
Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av logaritmlag 1. Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \log_a {a^x \over a^y} \; & = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y \end{align} \]
Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:
- \[ \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \). Därmed följer påståendet.
Logaritmlag 3:
- \[ \log\,A^y \; = \; y \cdot \log A \]
Bevis:
Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \log_a (a^x)^y \; & = \; \log_a a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \log_a a^x \cdot y \end{align}\]
Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:
- \[ \log_a A^y \; = \; \log_a A \cdot y \; = \; y \cdot \log_a A \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.
Internetlänkar
http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm
http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
