Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"

Versionen från 20 januari 2017 kl. 01.22

Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \).

Men här är basen vald till \( \, 10 \). \( \; A \, \) och \( \, B \, \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.

Bevis av logaritmlagarna

Lagarna ovan gäller för vilken bas som helst. Istället för \( \lg\, \) skulle kunna stå \( \log\, \) utan angivelse av basen. Därför skriver vi upp lagarna och för vi bevisen mera generellt med \( \log\, \).

Första logaritmlagen:

\[ \log(A \cdot B) \; = \; \log A + \log B \]

Bevis:

Logaritmlagarna är potenslagarnas logaritmering. Därför skriver vi upp första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( a\, \):

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \]

\[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]

Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst. Därav följer påståendet.

Andra logaritmlagen:

\[ \log\,{A \over B} \; = \; \log A - \log B \]

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av logaritmlag 1. Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \log_a {a^x \over a^y} \; & = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y \end{align} \]

Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:

\[ \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \). Därmed följer påståendet.

Tredje logaritmlagen:

\[ \log\,A^y \; = \; y \cdot \log A \]

Bevis:

Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \log_a (a^x)^y \; & = \; \log_a a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \log_a a^x \cdot y \end{align}\]

Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:

\[ \log_a A^y \; = \; \log_a A \cdot y \; = \; y \cdot \log_a A \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.

Internetlänkar

http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm

http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php

http://math.asu.edu/fym/Courses/mat117_web/exponential_and_logarithmic_functions_notes/laws-of-logarithms/Laws_of_Logarithmic_Functions.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf

Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.