Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst <math> \neq 1 </math>. | Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst <math> \neq 1 </math>. | ||
| − | Men | + | Men för enkelhetens skull formulerar vi dem med basen <math> \, 10 </math>. <math> \; A \, </math> och <math> \, B \, </math> ska vara positiva tal dvs <math> \neq 0 </math> och <math> x </math> och <math> y </math> rationella tal. |
</big> | </big> | ||
| Rad 32: | Rad 32: | ||
<big> | <big> | ||
| − | <div class="border-divblue">Logaritmlagarna är [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue"> | + | <div class="border-divblue">Logaritmlagarna är potenslagar i logaritmform. Man får dem genom att logaritmera [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">potenslagarna</span></b>]].</div> |
Versionen från 25 januari 2017 kl. 21.12
| << Tillbaka till Talet e | Genomgång | Övningar | Exponentialfunktioner & logaritmer |
Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \).
Men för enkelhetens skull formulerar vi dem med basen \( \, 10 \). \( \; A \, \) och \( \, B \, \) ska vara positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.
Första logaritmlagen: \( \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Andra logaritmlagen: \( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Tredje logaritmlagen: \( \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad \)
Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.
Bevis av logaritmlagarna
Lagarna ovan gäller för vilken bas som helst. Istället för \( \lg\, \) skulle kunna stå \( \log\, \) utan angivelse av basen.
Därför skriver vi upp lagarna och för vi bevisen mera generellt med \( \log\, \).
Påstående:
Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)
Bevis:
Vi skriver upp första potenslagen:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( \, a \):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \]
- \[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]
Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:
- \[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]
Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst.
Därav följer påståendet.
Påstående:
Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)
Bevis:
Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.
Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \\ \log_a {a^x \over a^y} \; & = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y \end{align} \]
Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:
- \[ \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \).
Därmed följer påståendet.
Påstående:
Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)
Bevis:
Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \\ \log_a (a^x)^y \; & = \; \log_a a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \log_a a^x \cdot y \end{align}\]
Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:
- \[ \log_a A^y \; = \; \log_a A \cdot y \; = \; y \cdot \log_a A \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.
Internetlänkar
http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm
http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
