Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 45: Rad 45:
 
Lagarna ovan gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst.
 
Lagarna ovan gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst.
  
−
Därför formulerar och bevisar vi dem här mera generellt med <math> \log_a </math> där <math> a > 0 , \; \neq 1 </math>.  
+
Därför formulerar och bevisar vi dem här mera generellt med <math> \lg </math> där <math> a > 0 , \; \neq 1 </math>.  
 
</big>
 
</big>
  
Rad 52: Rad 52:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
===== <b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \log_a\,(A \cdot B) \; = \; \log_a\,A \; + \; \log_a\,B </math> =====
+
===== <b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B </math> =====
 
</div> <!-- border-divblue -->
 
</div> <!-- border-divblue -->
  
Rad 63: Rad 63:
 
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
 
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad  \,| \;  \log_a\,(\;\;) </math>
+
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad  \,| \;  \lg\,(\;\;) </math>
  
−
:::<math> \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y </math>
+
:::<math> \lg(a^x \cdot a^y) \; = \; \lg a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \lg a^x \, + \, \lg a^y </math>
  
 
Om vi inför beteckningarna <math> A = a^x\, </math> och <math> B = a^y\, </math> får vi<span style="color:black">:</span>
 
Om vi inför beteckningarna <math> A = a^x\, </math> och <math> B = a^y\, </math> får vi<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B </math>
+
:::<math> \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B </math>
  
 
Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen <math> a\, </math> gäller likheten ovan för vilken bas <math> a\, </math> som helst.
 
Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen <math> a\, </math> gäller likheten ovan för vilken bas <math> a\, </math> som helst.
Rad 81: Rad 81:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
===== <b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \log_a\,\left({A \over B}\right) \; = \; \log_a\,A \; - \; \log_a\,B </math> =====
+
===== <b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B </math> =====
 
</div> <!-- border-divblue -->
 
</div> <!-- border-divblue -->
  
Rad 90: Rad 90:
 
Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen <math> a\, </math><span style="color:black">:</span>
 
Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen <math> a\, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math>\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad  \,| \;  \log_a\,(\;\;) \\
+
::::<math>\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad  \,| \;  \lg\,(\;\;) \\
 
                                                                                           \\
 
                                                                                           \\
−
                 \log_a {a^x \over a^y} \; & = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y  
+
                 \lg {a^x \over a^y} \; & = \; \lg a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg a^x \, - \, \lg a^y  
 
     \end{align} </math>
 
     \end{align} </math>
  
 
Nya beteckningar <math> A = a^x\, </math> och <math> B = a^y\, </math> ger<span style="color:black">:</span>
 
Nya beteckningar <math> A = a^x\, </math> och <math> B = a^y\, </math> ger<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B </math>
+
:::<math> \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B </math>
  
 
Utan några speciella förutsättningar för <math> a\, </math> gäller likheten ovan för alla baser <math> a\, </math>.
 
Utan några speciella förutsättningar för <math> a\, </math> gäller likheten ovan för alla baser <math> a\, </math>.
Rad 109: Rad 109:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
===== <b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\log_a\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \log_a A </math> =====
+
===== <b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A </math> =====
 
</div> <!-- border-divblue -->
 
</div> <!-- border-divblue -->
  
Rad 116: Rad 116:
 
Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen <math> a\, </math><span style="color:black">:</span>
 
Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen <math> a\, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math>\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y}  \qquad  \,| \;  \log_a\,(\;\;) \\
+
::::<math>\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y}  \qquad  \,| \;  \lg\,(\;\;) \\
 
                                                                                         \\
 
                                                                                         \\
−
                 \log_a (a^x)^y \; & = \; \log_a a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \log_a a^x \cdot y  
+
                 \lg (a^x)^y \; & = \; \lg a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg a^x \cdot y  
 
     \end{align}</math>
 
     \end{align}</math>
  
 
Beteckningen <math> A = a^x\, </math> ger<span style="color:black">:</span>
 
Beteckningen <math> A = a^x\, </math> ger<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \log_a A^y \; = \; \log_a A \cdot y \; = \; y \cdot \log_a A </math>
+
:::<math> \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A </math>
  
 
Utan några speciella förutsättningar för <math> a\, </math> följer påståendet.
 
Utan några speciella förutsättningar för <math> a\, </math> följer påståendet.
Rad 153: Rad 153:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Versionen från 25 januari 2017 kl. 22.12

        <<   Tillbaka till Talet e          Genomgång          Övningar          Exponentialfunktioner & logaritmer      


För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.


Första logaritmlagen: \( \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad \)

Andra logaritmlagen: \( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad \)

Tredje logaritmlagen: \( \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad \)


\( \; A \, \) och \( \, B \, \) ska vara positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.


Logaritmlagarna är potenslagar i logaritmform. Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.


Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.


Bevis av logaritmlagarna

Lagarna ovan gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst.

Därför formulerar och bevisar vi dem här mera generellt med \( \lg \) där \( a > 0 , \; \neq 1 \).

Påstående:

Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)

Bevis:

Vi skriver upp första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( \, a \):

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]
\[ \lg(a^x \cdot a^y) \; = \; \lg a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \lg a^x \, + \, \lg a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]

Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst.

Därav följer påståendet.


Påstående:

Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.

Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {a^x \over a^y} \; & = \; \lg a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg a^x \, - \, \lg a^y \end{align} \]

Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:

\[ \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \).

Därmed följer påståendet.


Påstående:

Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)

Bevis:

Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (a^x)^y \; & = \; \lg a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg a^x \cdot y \end{align}\]

Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:

\[ \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.




Internetlänkar

http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm

http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php

http://math.asu.edu/fym/Courses/mat117_web/exponential_and_logarithmic_functions_notes/laws-of-logarithms/Laws_of_Logarithmic_Functions.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf





Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Repetition:_Logaritmlagarna&oldid=32782"