Skillnad mellan versioner av "Repetition: Exponentialfunktioner"

Versionen från 2 april 2017 kl. 18.13

Detta är ett repeterande underavsnitt i Matte 3-kursens avsnitt Talet e och den naturliga logaritmen.

Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel \( \, x \, \) i exponenten. Logaritm är ett annat ord för exponent.

Logaritmen till basen 10 (10-logaritmen)

Fil:10 logaritmen Ny 600a.jpg

Logaritmer till godtyckliga baser

Om Logaritmlagarna se nästa avsnitt.

Inversegenskapen

Experiment

Ta fram din miniräknare och mata först in

\( 10 \, \)^

och sedan \( \qquad 2,5 \)

Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.

Tryck på funktionsknappen för \( \, 10\)-logaritmen:

\( {\rm{LOG}} \)

Tryck på ANS (ANSwer lagrar räknarens sist beräknade värde), i vårt fall decimaltalet ovan.

Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \, 2,5 \, \) som du hade matat in i början.

Experimentet har visat:

\( \lg\,(10^{\,2,5}) \, = \, 2,5 \)

Experimentet ovan är ett exempel på att

\({\rm{LOG}} \, \)

är den inversa operationen till

\(10 \, \)^

. Generellt gäller:

\( 10\)-logaritmen \( \, y \, = \, \lg\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, 10\,^x \, \), dvs:

\[ \lg\,(10^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad 10^{\,\lg\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } 10^{\,x} {\rm \;och\; } \lg\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]

Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( 10^{\,x} \) och sedan \( \lg\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).

Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( 10^{\,x} \) och \( \lg\,x \) direkt efter varandra.

Både \( \lg\,(10^{\,x}) \) och \( 10^{\,\lg\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experimentet ovan var ett exempel på detta. För att få \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \, \), beräknades först \( \, 10^{\,2,5} \) och sedan \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \).

Exempel på inversegenskapen

\(\begin{array}{rcll} {\rm {\color{Red} {Potensformen:}}\qquad\quad} 10^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\lg} \\ \lg\,(10^{\,x}) & = & \lg\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\ {\rm {\color{Red} {Logaritmformen:}}\qquad\quad} x & = & \lg\,68 & \\ x & = & 1,832508913\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} 10^{\,1,832508913} & = & 68 & \end{array}\)

Exponentialekvationer

Själva operationen \( a\,^x\, \) dvs att ta \( a \) upphöjt till \( x \) kallas för exponentiering och är en ny räkneoperation.

Anta att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( \, b\, \) och \( \, c \, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Exponentialfunktioner av typ \( \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, \) ger upphov till en ny typ av ekvationer:

Ekvationer av typ \( \, a\,^{\color{Red} x} = b \, \) kallas för exponentialekvationer

\( \quad \), i exemplet ovan: \( \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, \).

I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten \( \, {\color{Red} x}\, \) i exponenten.

Exponentieringens inversa operation heter logaritmering, se nästa avsnitt: Logaritmlagarna.

Exponentialekvationer löses genom logaritmering.

Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i potensekvationer av typ \( \, x\,^a\, = b \, \) obekanten \( \, x \, \) i basen.

Därför används en annan operation för deras lösning:

Potensekvationer löses genom rotdragning.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

@@ Rad 92: / Rad 92: @@
 <big>
-Själva operationen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> \, a\, </math> upphöjt till <math> \, x\, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentiering</span></b> och är en ny räkneoperation.
+Själva operationen <math> a\,^x\, </math> dvs att <b><span style="color:red">ta <math> a </math> upphöjt till <math> x </math></span></b> kallas för <b><span style="color:red">exponentiering</span></b> och är en ny räkneoperation.
-När <math> \, x\, </math> är lika med <math> \, 2\, </math> pratar man om <b><span style="color:red">kvadrering</span></b>.
+Anta att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> \, b\, </math> och <math> \, c \, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
-Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
+Exponentialfunktioner av typ <math> \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, </math> ger upphov till en ny typ av ekvationer:
-::Funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialfunktioner</span></b>, generellt <math> \; y = c \cdot a^x\, </math>.
+<div class="border-divblue">Ekvationer av typ <math> \, a\,^{\color{Red} x} = b \, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialekvationer</span></b></div><math> \quad </math>, i exemplet ovan<span style="color:black">:</span> <math> \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, </math>.
-::Ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialekvationer</span></b>, generellt <math> \; a^x\, = b </math>.
+I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten <math> \, {\color{Red} x}\, </math> i <b><span style="color:red">exponenten</span></b>.
-I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x\, </math> i <b><span style="color:red">exponenten</span></b>
+Exponentieringens inversa operation heter logaritmering, se nästa avsnitt: [[Logaritmlagarna|<b><span style="color:blue">Logaritmlagarna</span></b>]].
-<div class="border-divblue">Exponentialekvationer löses genom <b><span style="color:red">logaritmering</span></b>.</div>
+<div class="border-divblue">Exponentialekvationer löses genom logaritmering.</div>
-I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i basen. [[Potenser#Potensekvationer|<b><span style="color:blue">Potensekvationer</span></b>]] av typ <math> \, x^a\, = b \, </math> löses genom rotdragning.
+Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i [[Potenser#Potensekvationer|<b><span style="color:blue">potensekvationer</span></b>]] av typ <math> \, x\,^a\, = b \, </math> obekanten <math> \, x \, </math> i basen.
+Därför används en annan operation för deras lösning:
+<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom rotdragning.</div>
 </big>