Skillnad mellan versioner av "3.3 Övningar till Terasspunkter"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 148: | Rad 148: | ||
Följande funktion med en obestämd konstant <math> \, a \, </math> är given: | Följande funktion med en obestämd konstant <math> \, a \, </math> är given: | ||
| − | ::<math> y \, = \, f(x) \, = \, x^3 \, + \, a\,x^2 + 2,9\,a\,x </math> | + | :::<math> y \, = \, f(x) \, = \, x^3 \, + \, a\,x^2 + 2,9\,a\,x </math> |
För ett visst värde på <math> \, a \, </math> har funktionen en terasspunkt. | För ett visst värde på <math> \, a \, </math> har funktionen en terasspunkt. | ||
Versionen från 7 juni 2016 kl. 10.08
| \( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \) |
I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.
E-övningar: 1-4
Övning 1
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, - x^3 \, + \, 1 \]
a) Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställe.
b) Vilket tecken har derivatan till vänster om sitt nollställe?
c) Vilket tecken har derivatan till höger om sitt nollställe?
d) Har funktionen i derivatans nollställe en extrempunkt eller en terasspunkt? Motivera.
e) Sammanfatta dina resultat från a)-d) i en teckentabell.
f) Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.
Beskriv hur graferna bekräftar dina resultat.
Hämtar...
Övning 2
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, 2\,x^3 \, - \, 5 \]
a) Derivera funktionen tre gånger.
b) Bestäm derivatans nollställe.
c) Vilket värde har andraderivatan i derivatans nollställe?
d) Vilket värde har tredjederivatan i derivatans nollställe?
e) Har funktionen i derivatans nollställe en terasspunkt? Motivera. Om ja, ange terasspunktens koordinater.
f) Kontrollera dina resultat från grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.
Om du hittat en terasspunkt markera den i funktionens graf samt derivatans nollställe i derivatans graf.
Övning 3
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, x^4 \]
a) Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.
b) Funktionens graf visar en kritisk punkt. Var finns den och vilken karaktär har den?
c) Kan man med derivator algebraiskt bestämma den kritiska punktens karaktär? Om ja, gör det. Om nej, varför inte?
d) Avgör algebraiskt med en teckenstudie vilken karaktär funktionens kritiska punkt har.
Övning 4
Undersök om och var följande funktion har eventuella maxima, minima eller terasspunkter:
- \[ f(x) \, = \, 2\,x^3 - 6\,x^2 + 6\,x \]
Gå igenom följande steg för att lösa uppgiften:
a) Derivera funktionen tre gånger.
b) Bestäm derivatans nollställen.
c) Bestäm andraderivatans värde i derivatans nollställen.
d) Bestäm tredjederivatans värde i derivatans nollställen.
e) Avgör om derivatans nollställen är funktionens maxima, minima eller terasspunkter och ange deras koordinater.
f) Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.
Markera de eventuella maxima, minima eller terasspunkter du hittat i funktionens graf samt derivatans nollställen i derivatans graf.
C-övningar: 5-6
Övning 5
Undersök om och var följande funktion har kritiska punkter:
- \[ f(x) \, = \, 3\,x^4 + 4\,x^3 \]
a) Bestäm kritiska punkternas koordinater och ange deras karaktär.
b) Kontrollera dina resultat grafiskt. Kommentera kontrollen.
Övning 6
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, - x^4 - 4\,x^3 \]
a) Hitta funktionens alla kritiska punkter och ange deras karaktär.
b) Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.
Besvara följande frågor med hjälp av graferna:
Är något av derivatans nollställen en dubbelrot? Om ja, vilket av dem?
Vilken slutsats kan man dra av dubbelroten om den kritiska punktens karaktär?
A-övningar: 7-8
Övning 7
Följande funktion med en obestämd konstant \( \, a \, \) är given:
- \[ y \, = \, f(x) \, = \, x^3 \, + \, a\,x^2 + 2,9\,a\,x \]
För ett visst värde på \( \, a \, \) har funktionen en terasspunkt.
Bestäm detta värde på \( \, a \).
Övning 8
Undersök följande funktion:
- \[ y \, = \, f(x) = 2\,x^5 - 5\,x^4 - 10\,x^3 + 20\,x^2 + 40\,x + 23 \]
a) Bestäm funktionens alla kritiska punkter, deras karaktär och koordinater.
För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se digital beräkning av nollställen.
b) Har \( f(x) \) även några inflexionspunkter? I så fall ange deras koordinater.
c) Visualisera dina resultat.
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y \, = \, f(x) = (x - 2)^3 \, (x + 2) + 7 \]
a) Utveckla funktionsuttrycket så att du kan derivera. Ange derivatan \( f\,'(x) \).
b) Bestäm funktionens alla kritiska punkter och inflexionspunkter.
För att lösa högre gradsekvationer använd digitala hjälpmedel, se digital beräkning av nollställen.
Bestäm kritiska punkternas karaktär. Ange alla punkters koordinater.
c) Visualisera dina resultat.
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
