Skillnad mellan versioner av "Repetition: Exponentialfunktioner"

Versionen från 16 januari 2017 kl. 20.27

Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel \( \, x \, \) i exponenten. Logaritm är ett annat ord för exponent.

Logaritmen till basen 10 (10-logaritmen)

Fil:10 logaritmen Ny 600a.jpg

Exponentialekvationer

Själva operationen \( a^x\, \) dvs att ta \( \, a\, \) upphöjt till \( \, x\, \) kallas för exponentiering och är en ny räkneoperation.

När \( \, x\, \) är lika med \( \, 2\, \) pratar man om kvadrering.

Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = 10^x\, \) kallas för exponentialfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot a^x\, \).

Ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) kallas för exponentialekvationer, generellt \( \; a^x\, = b \).

I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x\, \) i exponenten, medan i potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.

Medan exponentialekvationer löses genom logaritmering, löses potensekvationer löses genom rotdragning.

Logaritmer till godtyckliga baser

Om Logaritmlagarna se nästa avsnitt.

Inversegenskapen

+++

Experiment 2 visar ett exempel på att \( \, \boxed{\rm{LN}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \boxed{e\,^x} \, \). Generellt gäller:

Den naturliga logaritmen \( \, y \, = \, \ln\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, e\,^x \, \):

\[ \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]

Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( e^{\,x} \) och sedan \( \ln\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \). Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( e^{\,x} \) och \( \ln\,x \) direkt efter varandra.

Både \( \ln\,(e^{\,x}) \) och \( e^{\,\ln\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln: Sammansatta funktioner exekveras (beräknas) inifrån. Experiment 2 var ett exempel på detta: Först beräknades \( \, e^{\,2} \) och sedan \( \, \ln\,(e^{\,2}) \).

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

@@ Rad 48: / Rad 48: @@
 </big>
+== <b><span style="color:#931136">Inversegenskapen</span></b> ==
++++
+<big>
+<b><span style="color:#931136">Experiment 2</span></b> visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>. Generellt gäller:
+<div class="border-divblue">
+Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math>:
+:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
+</div>
+Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>. Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> <b>direkt</b> efter varandra.
+Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. <b><span style="color:red">sammansatta funktioner</span></b>. För sådana funktioner gäller regeln: Sammansatta funktioner exekveras (beräknas) inifrån. [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|<b><span style="color:blue">Experiment 2</span></b>]] var ett exempel på detta: Först beräknades <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
+</big>