Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 52: | Rad 52: | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | ===== <b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \ | + | ===== <b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \log_a\,(A \cdot B) \; = \; \log_a\,A \; + \; \log_a\,B </math> ===== |
</div> <!-- border-divblue --> | </div> <!-- border-divblue --> | ||
| Rad 81: | Rad 81: | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | ===== <b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \ | + | ===== <b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \log_a\,\left({A \over B}\right) \; = \; \log_a\,A \; - \; \log_a\,B </math> ===== |
</div> <!-- border-divblue --> | </div> <!-- border-divblue --> | ||
| Rad 109: | Rad 109: | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | ===== <b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\ | + | ===== <b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\log_a\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \log_a A </math> ===== |
</div> <!-- border-divblue --> | </div> <!-- border-divblue --> | ||
Versionen från 25 januari 2017 kl. 21.51
| << Tillbaka till Talet e | Genomgång | Övningar | Exponentialfunktioner & logaritmer |
För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.
Första logaritmlagen: \( \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Andra logaritmlagen: \( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Tredje logaritmlagen: \( \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad \)
\( \; A \, \) och \( \, B \, \) ska vara positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.
Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.
Bevis av logaritmlagarna
Lagarna ovan gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst.
Därför formulerar och bevisar vi dem mera generellt med \( \log_a \) där \( a > 0 , \; \neq 1 \).
Påstående:
Första logaritmlagen \( \quad \log_a\,(A \cdot B) \; = \; \log_a\,A \; + \; \log_a\,B \)
Bevis:
Vi skriver upp första potenslagen:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( \, a \):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \]
- \[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]
Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:
- \[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]
Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst.
Därav följer påståendet.
Påstående:
Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \log_a\,\left({A \over B}\right) \; = \; \log_a\,A \; - \; \log_a\,B \)
Bevis:
Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.
Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \\ \log_a {a^x \over a^y} \; & = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y \end{align} \]
Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:
- \[ \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \).
Därmed följer påståendet.
Påstående:
Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\log_a\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \log_a A \)
Bevis:
Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \\ \log_a (a^x)^y \; & = \; \log_a a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \log_a a^x \cdot y \end{align}\]
Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:
- \[ \log_a A^y \; = \; \log_a A \cdot y \; = \; y \cdot \log_a A \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.
Internetlänkar
http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm
http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
