Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 51: | Rad 51: | ||
'''Bevis''': | '''Bevis''': | ||
| − | Vi skriver upp första potenslagen<span style="color:black">:</span> | + | Vi skriver upp första potenslagen med basen <math> \, 10 </math><span style="color:black">:</span> |
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math> | :::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math> | ||
| − | Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen <math> \, | + | Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen <math> \, 10 </math><span style="color:black">:</span> |
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) </math> | :::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) </math> | ||
Versionen från 25 januari 2017 kl. 22.19
| << Tillbaka till Talet e | Genomgång | Övningar | Exponentialfunktioner & logaritmer |
För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.
Första logaritmlagen: \( \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Andra logaritmlagen: \( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Tredje logaritmlagen: \( \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad \)
\( \; A \, \) och \( \, B \, \) ska vara positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.
Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.
Bevis av logaritmlagarna
Påstående:
Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)
Bevis:
Vi skriver upp första potenslagen med basen \( \, 10 \):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( \, 10 \):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]
- \[ \lg\,(a^x \cdot a^y) \; = \; \lg\,(a^{x+y}) \; = \; x \, + \, y \; = \; \lg a^x \, + \, \lg a^y \]
Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:
- \[ \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]
Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst.
Därav följer påståendet.
Påstående:
Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)
Bevis:
Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.
Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {a^x \over a^y} \; & = \; \lg a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg a^x \, - \, \lg a^y \end{align} \]
Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:
- \[ \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \).
Därmed följer påståendet.
Påstående:
Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)
Bevis:
Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):
- \[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (a^x)^y \; & = \; \lg a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg a^x \cdot y \end{align}\]
Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:
- \[ \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]
Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.
Internetlänkar
http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm
http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
