Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"

Versionen från 16 april 2017 kl. 14.59

Logaritmlagarna är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Talet e och den naturliga logaritmen.

För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.

Första logaritmlagen: \( \qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad \)

Andra logaritmlagen: \( \qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad \)

Tredje logaritmlagen: \( \qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad \)

\( A \), \( \, B \, > \, 0 \, \) och \( \, y \, \) godtyckligt rationellt tal.

Logaritmlagarna är potenslagarna i logaritmform.

Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.

Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis som följer:

Bevis av logaritmlagarna

Påstående:

Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)

Bevis:

Vi skriver upp första potenslagen med basen \( \, 10 \, \):

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \]

Nu logaritmerar vi båda leden med \( \, 10\)-logaritmen:

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]

\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) \]

Vi tillämpar inversegenskapen på högerledet dvs \( \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, \):

\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y \]

Inversegenskapen tillämpas baklänges på högerledet (\( x = \lg 10^x \, \) och \( y = \lg 10^y \)):

\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y \]

Om vi inför beteckningarna

\( \, A = 10^x\, \)

och

\( \, B = 10^y\, \)

får vi påståendet:

\[ \qquad\;\; \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]

Påstående:

Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.

Den andra potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} {10^x \over 10^y} \; & = \; 10^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {10^x \over 10^y} \; & = \; \lg 10^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg 10^x \, - \, \lg 10^y \end{align} \]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.

Nya beteckningar

\( \, A = 10^x\, \)

och

\( \, B = 10^y\, \)

ger påståendet:

\[ \qquad \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]

Påstående:

Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)

Bevis:

Den tredje potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} (10^x)^y \; & = \; 10^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (10^x)^y \; & = \; \lg 10^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg 10^x \cdot y \end{align}\]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.

Beteckningen

\( \, A = 10^x\, \)

leder till påståendet:

\[ \qquad\quad \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]

Exponentialekvationer av typ \( \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)\)

Logaritmering och användning av den tredje

logaritmlagen löser denna typ av ekvation:

\(\begin{array}{rcll} 5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\ & & & : \; \text{lag på VL} \\ {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\ {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ {\color{Red} x} & = & 2,62173\ldots & \\ \end{array}\)

Kontroll:\( \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 \)

I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.

I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL:

\( \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 \)

Generellt:

Exponentialekvationen \( \quad a\,^x \, = \, b \)

har lösningen: \( \qquad\qquad\;\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \;\;\)

\( \; (a \, > \, 0) \)

Logaritmer till godtyckliga baser: Byte av bas

\(\log_{\,5}\,25 \, \) = tal som basen \(5\) ska upp-

\( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(25\).

Det talet är \( \; {\color{Red} 2} \, \), därför att:

Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} 2} \; = \; 25 \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} 2} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,25 \)

Läs: Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) för \( \, 25 \, \).

Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) finns inte i räknaren.

I räknaren finns logaritmer till endast två baser:

\(10\)-logaritmen och logaritmen till basen \(e\) (LN).

\( \quad \)

\(\log_{\,5}\,68 \, \) = tal som basen \(5\) ska upp-

\( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(68\).

Om vi kallar det talet för \( \; {\color{Red} x} \, \), vet vi:

Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} x} \; = \; 68 \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,68 \; = \; {\color{Red} ?} \)

Men: Potensformen \(=\) Exponentialekvationen

med lösningen \( \; {\color{Red} x} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\)

Dvs \( \; {\color{Red} x} \, = \, \) \( \log_{\,5}\,68 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\)

Kontroll: \( \quad \log_{\,5}\,25 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,25}{\lg\,5} \, = \, {\color{Red} 2} \)

Generellt:

Potensformen: \( \quad\; a\,^{\color{Red} x} \, = \, b \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,a}\,b \) \( \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)

\( \quad \)

Logaritmen till basen \( \, a \, \) för \( \, b \, \) kan om-

vandlas till \( \, 10\)-logaritmer (Byte av bas):

\( \qquad\quad\;\;\; {\color{#931136} {\log_{\,a} \, b}} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)

Internetlänkar

http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm

http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php

http://math.asu.edu/fym/Courses/mat117_web/exponential_and_logarithmic_functions_notes/laws-of-logarithms/Laws_of_Logarithmic_Functions.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf

Skillnad mellan versioner av "Repetition: Logaritmlagarna"

Versionen från 16 april 2017 kl. 14.59

Bevis av logaritmlagarna

Exponentialekvationer av typ \( \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)\)

Logaritmer till godtyckliga baser: Byte av bas

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 3c

Sök

@@ Rad 11: / Rad 11: @@
 <!-- [[Media: Lektion 11 Logaritmlagar2.pdf|Lektion 11 Logaritmlagarna]] -->
-<!-- <big>Logaritmlagarna är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]].</big>
+<big>Logaritmlagarna är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]].
-== <b><span style="color:#931136">Logaritmlagarna är [[Potenser#Potenslagarna|potenslagar]] i logaritmform</span></b> ==
--->
-<big>
 För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen <math> \, 10  \, </math>. Men de gäller även för alla andra baser.
 </big>
@@ Rad 22: / Rad 18: @@
 <div class="border-divblue">
-<b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad </math></big>
+<b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad </math></big>
 ----
-<b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad </math></big>
+<b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad </math></big>
 ----
-<b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad </math></big>
+<b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad </math></big>
-</div> <!-- border-divblue -->
+----
+<big><math> A </math>, <math> \, B \, > \, 0 \, </math></big> och <big><math> \, y \, </math></big> godtyckligt rationellt tal.
+</div>
 <big>
-<math> \; A \, </math> och <math> \, B \, </math> ska vara positiva tal dvs <math> \neq 0 </math> och <math> y </math> ett godtyckligt rationellt tal.
+<div class="border-divblue">
+Logaritmlagarna är [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">potenslagarna</span></b>]] i logaritmform.
-<div class="border-divblue">Logaritmlagarna är potenslagar i logaritmform. Man får dem genom att logaritmera [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">potenslagarna</span></b>]].</div>
+Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.
+</div>
-Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis som följer:
 </big>
@@ Rad 48: / Rad 50: @@
 <div class="border-divblue">
 <b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B </math>
-</div> <!-- border-divblue -->
+</div>
 '''Bevis''':
@@ Rad 56: / Rad 58: @@
 :::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} </math>
-Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen <math> \, 10 </math><span style="color:black">:</span>
+Nu logaritmerar vi båda leden med <math> \, 10</math>-logaritmen<span style="color:black">:</span>
 :::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad  \,| \;   \lg\,(\;\;) </math>
-:::<math> \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) </math>
+:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) </math>
-Vi tillämpar [[Exponentialfunktioner_och_logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] på högerledet (<math> \,\lg \, </math> och <math>10 \, </math><span style="color:black">''^''</span>&nbsp; tar ut varandra)<span style="color:black">:</span>
+Vi tillämpar [[10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] på högerledet dvs <math> \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, </math><span style="color:black">:</span>
-:::<math> \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y </math>
+:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y </math>
-Nu tillämpas [[Exponentialfunktioner_och_logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] baklänges på högerledet (<math> x = \lg 10^x \, </math> och <math> y = \lg 10^y </math>)<span style="color:black">:</span>
+[[10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">Inversegenskapen</span></b>]] tillämpas baklänges på högerledet (<math> x = \lg 10^x \, </math> och <math> y = \lg 10^y </math>)<span style="color:black">:</span>
-:::<math> \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y </math>
+:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y </math>
-Om vi inför beteckningarna <math> A = 10^x\, </math> och <math> B = 10^y\, </math> får vi påståendet<span style="color:black">:</span>
+Om vi inför beteckningarna <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> och <div class="border-divblue8"><math> \, B = 10^y\, </math></div> får vi påståendet<span style="color:black">:</span>
-:::<math> \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B </math>
+:::<math> \qquad\;\; \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B </math>
 </div>
@@ Rad 81: / Rad 83: @@
 <div class="border-divblue">
 <b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B </math>
-</div> <!-- border-divblue -->
+</div>
 '''Bevis''':
@@ Rad 96: / Rad 98: @@
 I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.
-Nya beteckningar <math> \, A = 10^x\, </math> och <math> \, B = 10^y\, </math> ger påståendet<span style="color:black">:</span>
+Nya beteckningar <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> och <div class="border-divblue8"><math> \, B = 10^y\, </math></div> ger påståendet<span style="color:black">:</span>
-:::<math> \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B </math>
+:::<math> \qquad \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B </math>
 </div>
@@ Rad 107: / Rad 109: @@
 <div class="border-divblue">
 <b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A </math>
-</div> <!-- border-divblue -->
+</div>
 '''Bevis''':
@@ Rad 120: / Rad 122: @@
 I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.
-Beteckningen <math> \, A = 10^x\, </math> leder till påståendet<span style="color:black">:</span>
+Beteckningen <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> leder till påståendet<span style="color:black">:</span>
-:::<math> \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A </math>
+:::<math> \qquad\quad \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A </math>
 </div>
 == <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer av typ <math> \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)</math></span></b> ==
+<div class="ovnE">
+Logaritmering och användning av den tredje
+logaritmlagen löser denna typ av ekvation:
+<div class="exempel">
+<math>\begin{array}{rcll}
+^{\,{\color{Red} x}} & = & 68                                   & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,)  \\
+                   \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68                              & : \text{3:e logaritm-}   \\
+                                                &   &                                      & : \; \text{lag på VL}    \\
+                   {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68                              & | \;\; / \,\lg\,5        \\
+                                {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} &                          \\
+                                {\color{Red} x} & = & 2,62173\ldots                        &                          \\
+      \end{array}</math>
+Kontroll<span style="color:black">:</span><math> \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 </math>
+</div>
+I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.
+I rad 2&#x279b;3 ger den tredje logaritmlagen på VL<span style="color:black">:</span>
+<math> \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 </math>
+</div>
+<big>Generellt:</big>
+<div class="border-divblue">
+<big><span style="color:red">Exponentialekvationen</span> <math> \quad a\,^x \, = \, b </math>
+har lösningen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\;\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \;\;</math>
+<math> \; (a \, > \, 0) </math>
+</big></div>
+== <b><span style="color:#931136">Logaritmer till godtyckliga baser: Byte av bas</span></b> ==
 <br>
-<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;">[[Image: a_logaritmen_Ny_600a.jpg]]</div>
+<table>
+<tr>
+<td>
+<div class="ovnE">
+<big><b><span style="color:#931136"><math>\log_{\,5}\,25 \, </math></span></b> = &nbsp; tal som basen <math>5</math> ska upp-
+<math> \qquad\qquad\;\; </math> höjas till, för att ge <math>25</math>.
+Det talet är <math> \; {\color{Red} 2} \, </math>, därför att:
+----
+Potensformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad 5\,^{\color{Red} 2} \; = \; 25 </math>
+<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow </math>
+Logaritmformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\color{Red} 2} \; = \; </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,5}\,25 </math></span></b>
+----
+Läs: <b><span style="color:#931136">Logaritmen till basen <math> \, 5 \, </math> för <math> \, 25 \, </math></span></b>.
+----
+Logaritmen till basen <math> \, 5 \, </math> finns inte i räknaren.
+----
+I räknaren finns logaritmer till endast två baser<span style="color:black">:</span>
+<math>10</math>-logaritmen och logaritmen till basen <math>e</math> (LN).
+</big></div>
+</td>
+<td> <math> \quad </math> </td>
+<td><div class="ovnC">
+<big><b><span style="color:#931136"><math>\log_{\,5}\,68 \, </math></span></b> = &nbsp; tal som basen <math>5</math> ska upp-
+<math> \qquad\qquad\;\; </math> höjas till, för att ge <math>68</math>.
+Om vi kallar det talet för <math> \; {\color{Red} x} \, </math>, vet vi:
+----
+Potensformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad 5\,^{\color{Red} x} \; = \; 68 </math>
+<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow </math>
+Logaritmformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\color{Red} x} \; = \; </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,5}\,68  \; = \; {\color{Red} ?} </math></span></b>
+----
+Men: &nbsp; Potensformen <math>=</math> <span style="color:red">Exponentialekvationen</span>
+med lösningen <math> \; {\color{Red} x} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, </math> <small><math> 2,62173\ldots</math></small>
+----
+Dvs <math> \; {\color{Red} x} \, = \, </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,5}\,68 </math> </span></b> <math> \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, </math> <small><math> 2,62173\ldots</math></small>
+</big></div>
+</td>
+</tr>
+</table>
+<big><big>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Kontroll: <b><span style="color:#931136"><math> \quad \log_{\,5}\,25 </math></span></b> <math> \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,25}{\lg\,5} \, = \, {\color{Red} 2} </math>
+</big></big>
+<big>Generellt:</big>
+<table>
+<tr>
+<td>
+<div class="border-divblue">
+<big>
+Potensformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad\; a\,^{\color{Red} x} \, = \, b </math>
+<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \Updownarrow </math>
+Logaritmformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\color{Red} x} \; = \; </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,a}\,b </math> </span></b> <math> \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} </math>
+</big></div>
+</td>
+<td> <math> \quad </math> </td>
+<td>
+<div class="border-divblue">
+<big>
+<span style="color:#931136">Logaritmen till basen <math> \, a \, </math> för <math> \, b \, </math></span> kan om-
+vandlas till <math> \, 10</math>-logaritmer (Byte av bas)<span style="color:black">:</span>&nbsp;&nbsp;
+<math> \qquad\quad\;\;\; {\color{#931136} {\log_{\,a} \, b}} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} </math>
+</big></div>
+</td>
+</tr>
+</table>